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| - | Die '''Mandelbrot-Menge''' ist eine [[fraktal]] erscheinende [[Menge (Mathematik)|Menge]], die eine bedeutende Rolle in der [[Chaosforschung]] spielt. Der Rand der Menge weist eine [[Selbstähnlichkeit]] auf, die jedoch nicht exakt ist, da es zu Verformungen kommt. Die Visualisierung der Menge wird im allgemeinen Sprachgebrauch oft auch ''Apfelmännchen'' genannt. Die ersten computergrafischen Darstellungen wurden 1978 von [[Robert Brooks]] und [[Peter Matelski]] vorgestellt. 1980 veröffentlichte [[Benoît Mandelbrot]], nach dem die Menge benannt wurde, eine Arbeit über das Thema.<ref>Benoît Mandelbrot, ''Fractal aspects of the iteration of <math>z\mapsto\lambda z(1-z)</math> for complex <math>\lambda, z</math>'', Annals of the New York Academy of Sciences '''357''', 249–259</ref> Darauf folgend wurde sie von [[Adrien Douady]] und [[John Hamal Hubbard]] in einer Reihe grundlegender mathematischer Arbeiten systematisch untersucht.<ref>Adrien Douady und John H. Hubbard, ''Etude dynamique des polynômes complexes'', Prépublications mathémathiques d'Orsay, 2/4, 1984/1985 [http://portail.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf (PDF)]</ref> Die mathematischen Grundlagen dafür wurden bereits 1905 von dem französischen Mathematiker [[Pierre Fatou]] erarbeitet.
| + | {| style="background-color:transparent" |
| - | [[Datei:Mandelbrot set with coloured environment.png|miniatur|Mandelbrot-Menge (schwarz) mit farbig dargestellter Umgebung. Jedem [[Pixel]] ist eine bestimmte [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolge]] zugeordnet. Der Folgenindex, ab dem alle Folgenglieder einen Betrag größer als 1000 haben, wächst von Farbstreifen zu Farbstreifen zur Mandelbrot-Menge hin um den Wert 1.]] | + | | [[Image:Tum2010 Panik.png | 300 px | left | asta.fs.tum.de]] |
| - | [[Datei:Mandelbrot12800x9600.jpg|miniatur|Weitere Mandelbrot-Menge mit höherer Auflösung]]
| + | |First article and already headline! For all of you, who speak German, check out the [http://asta.fs.tum.de/asta/referate/panik/panik-archiv/ interview] Andreas Hubel conducted with us (panik 26). Well, the mean idea seems to be that our bacterias will lead the world one day, so beware of the iGEM Team TU Munich! |
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| - | == Bekanntheit ==
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| - | Außerhalb der Fachwelt wurde die Mandelbrot-[[Menge (Mathematik)|Menge]] vor allem durch den ästhetischen Wert dieser [[Computergrafik]]en bekannt, der durch künstlerische Farbgestaltung des Außenbereichs, der nicht zur Menge gehört, unterstützt wird. Die Mandelbrot-Menge wird als das formenreichste [[Geometrie|geometrische]] Gebilde bezeichnet. Dieser Formenreichtum zeigt sich an stark vergrößerten Ausschnitten des Randes, die überdies Beispiele für das Konzept der [[Selbstähnlichkeit]] bei Fraktalen liefern. Trotz der hohen inneren Ordnung wurde die Mandelbrot-Menge zum Symbol für das [[Chaosforschung|mathematische Chaos]], welches sich allerdings von [[Chaos]] im umgangssprachlichen Sinne grundsätzlich unterscheidet.
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| - | Die Bezeichnung „Apfelmännchen“ leitet sich von der geometrischen Grobform einer um 90 Grad im Uhrzeigersinn gedrehten Mandelbrotmenge her.
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| - | == Definition ==
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| - | [[Datei:Mandelset hires.png|miniatur|Die Mandelbrot-Menge (schwarz) in der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]]]]
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| - | === Definition über Rekursion ===
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| - | Die Mandelbrot-Menge <math>\Bbb M</math> ist die Menge aller [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>c</math>, für welche die [[Rekursion|rekursiv]] [[Definition|definierte]] [[Folge (Mathematik)|Folge]] komplexer Zahlen <math>z_0, z_1, z_2, \ldots</math> mit dem Bildungsgesetz
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| - | :<math>z_{n+1} = z_n^2 + c</math>
| + | |
| - | und dem Anfangsglied
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| - | :<math>z_0 = 0</math>
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| - | [[Beschränktheit|beschränkt]] bleibt, das heißt, der [[Betragsfunktion|Betrag]] der Folgenglieder wächst nicht über alle Grenzen. Die grafische Darstellung dieser Menge erfolgt in der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]]. Die Punkte der Menge werden dabei in der Regel schwarz dargestellt und der Rest farbig, wobei die Farbe eines Punktes den Grad der [[Grenzwert (Folge)|Divergenz]] der zugehörigen Folge widerspiegelt ([[Mandelbrot-Menge#Grafische Darstellung|siehe unten]]).
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| - | === Definition über Julia-Mengen ===
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| - | Die Mandelbrot-Menge <math>\Bbb M</math> wurde von Benoît Mandelbrot ursprünglich zur Klassifizierung von [[Julia-Menge]]n eingeführt, die bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern [[Gaston Maurice Julia]] und [[Pierre Fatou]] untersucht wurden. Die Julia-Menge <math>J_c</math> zu einer bestimmten komplexen Zahl <math>c</math> ist definiert als der [[Rand (Topologie)|Rand]] der Menge aller Anfangswerte <math>z_0</math>, für die die obige Zahlenfolge beschränkt bleibt. Man kann [[Beweis (Mathematik)|beweisen]], dass die Mandelbrot-Menge <math>\Bbb M</math> genau die Menge der Werte <math>c</math> ist, für die die zugehörige Julia-Menge <math>J_c</math> [[zusammenhängend]] ist.
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| - | === Verallgemeinerte Mandelbrot-Mengen ===
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| - | Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die oben definierte Menge <math>\Bbb M</math> als ''die'' Mandelbrot-Menge bezeichnet. Verwendet man anstelle des obigen Bildungsgesetzes die Rekursionsregel
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| - | :<math>z_{n+1} = f_c(z_n)</math>
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| - | mit einer von einem komplexen [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] <math>c</math> abhängigen [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>f_c</math> innerhalb der komplexen Zahlen, so lässt sich in analoger Weise eine zu dieser Abbildung gehörige Mandelbrot-Menge und entsprechende Julia-Mengen definieren. Der Startwert <math>z_0</math> muss ein [[Kritischer Punkt (Mathematik)|kritischer Punkt]] sein, das heißt, es muss <math>f_c'(z_0) = 0</math> gelten.
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| - | Dieses Verfahren kann auch für Funktionen mit mehr als einem komplexen Parameter <math>c</math> erweitert werden. Allerdings ist dann eine grafische Darstellung in zwei Dimensionen ohne Projektion nicht mehr möglich.
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| - | Die folgenden Ausführungen beziehen sich nur auf die üblicherweise betrachtete Mandelbrot-Menge.
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| - | == Geometrische und mathematische Eigenschaften ==
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| - | [[Datei:Fractal-zoom-1-15-rupture.ogg|miniatur|Video: Zoom in eine Mandelbrot-Menge]]
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| - | Der ungeheure Formenreichtum der Mandelbrot-Menge erschließt sich aus ihrem Bezug zu [[Julia-Menge]]n. Julia-Mengen zur Iteration ''z''→''z''<sup>2</sup>+''c'' sind Fraktale, außer für einige ''c''-Werte wie ''c''=−2 (Strecke) oder ''c''=0 (Kreis). Die Formen dieser fraktalen Strukturen sind innerhalb einer Julia-Menge stets die gleichen, umspannen aber für Julia-Mengen zu verschiedem Parameter ''c'' einen enormen Formenreichtum. Es zeigt sich, dass die Strukturen der Mandelbrot-Menge in der Umgebung eines bestimmten Wertes ''c'' genau jene Strukturen der zugehörigen Julia-Menge <math>J_c</math> wiedergeben. Damit enthält die Mandelbrot-Menge den kompletten Formenreichtum der unendlich vielen Julia-Mengen (s. u.).
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| - | In den fraktalen Strukturen am Rand findet man verkleinerte ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, so genannte ''Satelliten''. Jeder Bildausschnitt der Mandelbrot-Menge, der sowohl Punkte aus <math>\Bbb M</math> als auch solche außerhalb <math>\Bbb M</math> umfasst, enthält unendlich viele dieser Satelliten. Unmittelbar am Rand eines Satelliten treten fast die gleichen Strukturen auf, wie an den entsprechenden Stellen des Originals. Diese Strukturen sind jedoch nach weiter außen hin mit den Strukturen kombiniert, die für die größere Umgebung des Satelliten typisch sind. Diese Situation wird gelegentlich mit der eines biologischen Organismus und seiner [[Gen]]e verglichen. Danach entspricht jedem Satelliten die [[Desoxyribonukleinsäure|Erbsubstanz]] einer [[Zelle (Biologie)|Zelle]], die den Bauplan für den kompletten Organismus enthält, während nach außen hin nur die Strukturen des lokalen [[Organ (Biologie)|Organs]] [[Exprimierung|exprimiert]] sind. Es handelt sich dabei jedoch um ein rein formales Gleichnis ohne kausalen Hintergrund.
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| - | Da jeder Satellit wiederum mit Satelliten höherer Ordnung bestückt ist, lässt sich immer eine Stelle finden, an der eine beliebige Anzahl beliebiger verschiedener Strukturen in beliebiger Reihenfolge kombiniert auftritt. Diese Strukturen sind dann allerdings nur bei extremer Vergrößerung erkennbar.
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| - | Die Mandelbrot-Menge ist [[Achsensymmetrie|spiegelsymmetrisch]] zur reellen Achse. Sie ist zusammenhängend (das heißt, sie bildet keine Inseln) und voll (sie hat also keine Löcher). (Ob M [[einfach zusammenhängend]] ist, ist nicht bekannt, denn es ist nicht einmal bekannt, ob M [[wegzusammenhängend]] ist.) Die Mandelbrotmenge ist nicht [[Selbstähnlichkeit|selbstähnlich]], denn keine zwei Teilstrukturen ihres Randes sind exakt gleich; aber in der Nähe vieler Randpunkte bilden sich bei fortgesetzter Ausschnittvergrößerung im Grenzwert periodische Strukturen.
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| - | Da die Mandelbrot-Menge Kardioid- und Kreisflächen enthält, hat sie die [[fraktale Dimension]] zwei. Der Rand der Mandelbrot-Menge hat eine unendliche Länge, und seine [[Hausdorff-Dimension]] beträgt nach Arbeiten von [[Mitsuhiro Shishikura]] ebenfalls zwei; das impliziert, dass auch die [[Box-Dimension]] den Wert 2 hat. Es ist denkbar, dass der Rand der Mandelbrotmenge einen positiven (notwendig endlichen) Flächeninhalt hat; andernfalls wäre dieser Flächeninhalt null. Der Flächeninhalt der Mandelbrot-Menge ist nicht bekannt und beträgt nach numerischen Schätzungen etwa 1,506 591 77. Einer Spekulation zufolge beträgt der exakte Wert <math>\sqrt{6\pi -1} - e = 1{,}506\,591\,651 \ldots</math><ref>[http://www.mrob.com/pub/muency/pixelcounting.html Pixel Counting, Mu-Ency at MROB<!-- Automatisch generierter titel -->]</ref>.
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| - | Die Frage, ob die Mandelbrotmenge [[entscheidbar]] ist, gibt zunächst keinen Sinn, da <math>\Bbb M</math> [[Überabzählbarkeit|überabzählbar]] ist. Einen Ansatz, den Begriff der Entscheidbarkeit auf überabzählbare Mengen zu verallgemeinern, stellt das [[Blum-Shub-Smale-Modell]] dar. Innerhalb dessen ist die Mandelbrotmenge nicht entscheidbar.
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| - | === Bildergalerie einer Zoomfahrt ===
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| - | Die folgende exemplarische Bildersequenz einer Zoomfahrt an eine bestimmte Stelle ''c'' gibt einen Eindruck vom geometrischen Formenreichtum und erläutert gewisse typische Strukturelemente. Die Vergrößerung im letzten Bild beträgt etwa 1 zu 60 Milliarden. Bezogen auf einen üblichen Computerbildschirm verhält sich dieser Ausschnitt wie zu der Gesamtgröße des Apfelmännchens von 2,5 Millionen Kilometern, dessen Rand in dieser [[Auflösungsvermögen|Auflösung]] eine unvorstellbare Fülle verschiedenster fraktaler Strukturen aufweist.
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| - | {| class="wikitable" cellspacing="5"
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| - | ! width="160" | Bild
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| - | ! Beschreibung | + | |
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| - | | [[Datei:mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|center|150px|center|Startbild]]
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| - | | valign="top" | '''Startbild:'''<br />Die Mandelbrot-Menge mit stufenlos eingefärbtem Außenraum.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 01 head and shoulder.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 1]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 1:'''<br />Spalte zwischen „Kopf“ und „Körper“, auch „Tal der Seepferdchen“ genannt.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 02 seehorse valley.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 2]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 2:'''<br />Links Doppelspiralen, rechts „Seepferdchen“.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 03 seehorse.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 3]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 3:'''<br />„Seepferdchen“. Der „Körper“ wird von 25 „Speichen“ gebildet, von denen sich zwei Zwölfergruppen nach Art einer [[Metamorphose]] auf jeweils einen der beiden „Finger“ an der „oberen Hand“ des Apfelmännchens zurückführen lassen. Die Zahl der „Speichen“ nimmt daher von einem „Seepferdchen“ zum nächsten um zwei zu. Die „Nabe“ wird von einem [[Misiurewicz-Punkt]] gebildet (s. u.). Zwischen „Oberkörper“ und „Schwanz“ ist ein deformierter Satellit erkennbar.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 4]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 4:'''<br />Der „Seepferdchenschwanz“ endet ebenfalls in einen Misiurewicz-Punkt.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 05 tail part.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 5]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 5:'''<br />Teil des „Schwanzes“. Der einzige Pfad, der sich durch den gesamten „Schwanz“ windet, und damit gewährleistet, dass <math>\Bbb M</math> einfach zusammenhängend ist, führt im Zickzack von einer „Schwanzseite“ zur anderen und passiert dabei die „Naben“ der großen 25-spiraligen Gebilde.
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| - | |-
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| - | | [[Datei:mandel zoom 06 double hook.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 6]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 6:'''<br />Satellit. Die beiden „Seepferdchenschwänze“ bilden den Auftakt für eine Folge von konzentrischen Kränzen mit dem Satelliten im Zentrum.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 07 satellite.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 7]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 7:'''<br />Jeder dieser Kränze besteht aus gleichartigen Strukturelementen, deren Anzahl pro Kranz mit Potenzen von 2 wächst, ein typisches Phänomen in der Umgebung von Satelliten. Der oben erwähnte Pfad durch den „Seepferdchenschwanz“ passiert den Satelliten über die Kerbe der Kardioide und die Spitze der „Antenne“ auf dem „Kopf“.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 08 satellite antenna.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 8]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 8:'''<br />„Antenne“ des Satelliten. Auf ihr sind mehrere Satelliten 2. Ordnung erkennbar.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 9]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 9:'''<br />„Tal der Seepferdchen“ des Satelliten. Es zeigen sich die gleichen Strukturelemente wie in Ausschnitt 1.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 10]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 10:'''<br />Doppelspiralen und „Seepferdchen“, die jedoch im Unterschied zu Ausschnitt 2 nach außen hin mit seepferdchenschwanzartigen Fortsätzen bestückt sind. Dieses Phänomen demonstriert die für Satelliten n-ter Ordnung typischen Verkettungen von n+1 Strukturelementen für den Fall n=1.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 11]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 11:'''<br />Doppelspiralen mit Satelliten 2. Ordnung. Sie lassen sich als Metamorphose der „Antenne“ interpretieren.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 12]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 12:'''<br />Im Bereich der äußeren Fortsätze sind stets inselartige Strukturen eingestreut, die Julia-Mengen ''J<sub>c</sub>'' ähneln. Die im Bild größte ist im Zentrum des „Doppelhakens“ rechts gerade eben erkennbar.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 13]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 13:'''<br />Teil des „Doppelhakens“.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 14 satellite julia island.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 14]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 14:'''<br />Diese Inseln scheinen auf den ersten Blick nach Art von [[Cantor-Menge]]n wiederum aus unendlich vielen unzusammenhängenden Teilstücken zu bestehen, wie es für die zugehörigen ''J<sub>c</sub>'' tatsächlich der Fall ist, sie sind jedoch hier über filigrane Strukturen miteinander verbunden. Diese Strukturen gehen von einem Satelliten im Zentrum aus, der bei dieser Vergrößerung noch nicht sichtbar ist, und zwar derart, dass das Ganze ein einfach zusammenhängendes Gebilde ergibt. Der zum entsprechenden ''J<sub>c</sub>'' gehörige ''c''-Wert ist nicht der des Bildzentrums, sondern hat relativ zum Hauptapfelmännchen die gleiche Position wie das Bildzentrum zum Satelliten, der in Ausschnitt 7 dargestellt ist.
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| - | |}
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| - | Eine Animation zu dieser Zoomfahrt findet sich bei den [[#Weblinks|Weblinks]].
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| - | == Verhalten der Zahlenfolge ==
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| - | Die verschiedenen Strukturelemente von <math>\Bbb M</math> stehen in engem Zusammenhang mit bestimmten Verhaltensweisen der Zahlenfolge, die <math>\Bbb M</math> zugrunde liegt. Je nach Wert von ''c'' ergibt sich eine der folgenden vier Möglichkeiten:
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| - |
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| - | * Sie strebt gegen einen festen Wert ([[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]]).
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| - | * Sie konvergiert gegen einen [[periodisch]]en Grenzzyklus, der aus 2 oder mehr Zahlen besteht.
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| - | * Sie wiederholt sich nie, bleibt aber beschränkt (für manche dieser Parameter ergibt sich chaotisches Verhalten).
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| - | * Sie strebt gegen Unendlich ([[Grenzwert (Folge)|bestimmte Divergenz]]).
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| - | Alle ''c''-Werte, die zu den ersten drei Verhaltensweisen führen, gehören zu <math>\Bbb M</math>.
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| - | === Geometrische Zuordnung ===
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| - | Konvergenz liegt genau für die Werte von ''c'' vor, die das Innere der [[Kardioide]] bilden, den „Körper“ des Apfelmännchens, sowie für abzählbar viele ihrer Randpunkte. Periodische Grenzzyklen findet man in den (angenähert) kreisförmigen „Knospen“ wie z. B. im „Kopf“, in den Kardioiden der Satelliten, sowie ebenfalls auf abzählbar vielen Randpunkten dieser Komponenten. Eine fundamentale [[Vermutung (Mathematik)|Vermutung]] besagt, dass es für alle inneren Punkte der Mandelbrotmenge einen Grenzzyklus gibt. Die Folge ist echt vorperiodisch für abzählbar viele Parameter, die oft Misiurewicz-Thurston-Punkte genannt werden. Dazu gehören die „Antennenspitzen“, wie z. B. Punkt z = -2 ganz links, und Verzweigungspunkte der Mandelbrotmenge.
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| - | In den überabzählbar vielen übrigen Punkten der Mandelbrotmenge kann sich die Folge auf viele verschiedene Weisen verhalten, die jeweils sehr unterschiedliche dynamische Systeme erzeugen, und die teilweise Gegenstand intensiver Forschung sind. Je nach Definition des Wortes kann man „chaotisches“ Verhalten finden.
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| - | === Periodisches Verhalten ===
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| - | ==== Die kreisförmigen Strukturen ====
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| - | [[Datei:Mandelbrot Set – Periodicities coloured.png|miniatur|Mandelbrotmenge mit farbig dargestellter Periodenlänge der Grenzzyklen]]
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| - | Jede kreisförmige „Knospe“ und jede Satelliten-Kardioide zeichnet sich durch eine bestimmte Periodizität des Grenzzyklus aus, gegen den die Folge für die zugehörigen ''c''-Werte strebt. Die Anordnung der „Knospen“ an der zugehörigen Kardioide folgt dabei den folgenden Regeln, aus denen sich unmittelbar die Periodizitäten ablesen lassen. Jede „Knospe“ berührt genau einen Basiskörper, nämlich eine größere „Knospe“ oder eine Kardioide.
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| - | Die Periodizität einer „Knospe“ ist die Summe der Periodizitäten der beiden nächsten größeren „Nachbarknospen“ in beide Richtungen am selben Basiskörper, sofern es solche gibt. Gibt es am Rand des Basiskörpers bis zur Kontaktstelle mit dessen Basiskörper bzw. bis zur Kerbe der Kardioide nur kleinere „Knospen“, so trägt anstelle der Periodizität einer „Nachbarknospe“ die des Basiskörpers selbst zur Summe bei. Daraus leiten sich unmittelbar die folgenden Eigenschaften ab:
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| - | * Tendenziell sind die „Knospen“ bzw. Kardioiden umso kleiner, je größer ihre Periodizität ist.
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| - | * Die Periodizität der größten „Knospe“ an einem Basiskörper beträgt stets das doppelte, wie beispielsweise der „[[Dutt]]“ mit der Periode 4 am „Kopf“.
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| - | * Die Periodizität einer „Knospe“ eines Satelliten ist das Produkt der Periodizität der Kardioide und der der korrespondierenden „Knospe“ der Hauptkardioide.
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| - | Ferner erklärt diese Regel das Auftreten bestimmter Folgen von „Knospen“ wie beispielsweise vom „Kopf“ zur Kardioidkerbe hin mit einer Periodizitätszunahme zur nächsten „Knospe“ hin um den Wert 1 oder vom „Arm“ zum „Kopf“ hin um den Wert 2.
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| - | ==== Attraktive Zyklen ====
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| - | Gibt es für ein ''c'' ein Folgenglied mit der Eigenschaft ''z<sub>n</sub>=z''<sub>0</sub>=0, so wiederholt sich die Folge von Anfang an streng periodisch und zwar mit der Periode ''n''. Da sich ''z<sub>n</sub>'' durch ''n''-malige Anwendung der Iterationsvorschrift ergibt, wobei bei jedem Schritt quadriert wird, lässt es sich als [[Polynom]] von ''c'' vom Grad 2<sup>''n''-1</sup> formulieren. Die ''c''-Werte für periodische Folgen der Periode ''n'' erhält man daher über die 2<sup>''n''-1</sup> [[Nullstelle]]n dieses Polynoms. Es zeigt sich, dass jede Zahlenfolge gegen diesen Zahlenzyklus konvergiert, sofern eins ihrer Folgenglieder hinreichend nahe an diesen Zyklus gerät. Man spricht von sogenannten [[Attraktor]]en.
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| - | Das führt dazu, dass auch alle Zahlenfolgen zu einer gewissen Umgebung des ''c''-Wertes, der den Attraktor repräsentiert, gegen einen stabilen Zyklus der Periode n konvergieren. Jede kreisförmige „Knospe“ und jede Kardioide eines Satelliten repräsentiert genau eine solche Umgebung. Exemplarisch seien die Gebiete mit den Perioden 1 bis 3 aufgeführt:
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| - | * Periode 1: Die Kardioide des Hauptapfelmännchens. Der Rand dieser Kardioide ist gegeben durch Punkte der Form <math>c = \frac 12 z - \frac 14 z^2</math> mit <math>|z|=1</math>.
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| - | * Periode 2: Der „Kopf“. Die 2. Nullstelle ''c''=0 entspricht der Hauptkardioide, die wegen der Periode 1 natürlich auch bei der Ermittlung aller höherer Perioden als Nullstelle auftritt. Diese Überlegung zeigt, dass die Zahl der Attraktoren mit der Periode ''n'' (>1) maximal 2<sup>''n''-1</sup>-1 betragen kann, und das auch nur dann, wenn ''n'' eine Primzahl ist. Der Kopf selbst ist eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt <math> -1</math> und Radius <math>\frac 14</math>, d. h. der Rand dieser Kreisscheibe ist gegeben durch Punkte der Form <math> c = -1 + \frac14 z</math> mit <math>|z|=1</math>.
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| - | * Periode 3: Die „Knospen“, die den „Armen“ entsprechen und die Kardioide des größten Satelliten auf der „Kopfantenne“. Die 4. Nullstelle ''c''=0 entfällt wieder.
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| - | Die Anzahl der anziehenden Zyklen mit der genauen Periode ''n'', d.h. ''z<sub>n</sub>=z''<sub>0</sub> und ''n'' ist minimal mit dieser Eigenschaft, ist die {{OEIS|A000740}}.
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| - | ===== Galerie der Iteration =====
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| - | Die folgende Galerie gibt einen Überblick über die Werte von ''z''<sub>''n''</sub> für einige Werte von ''n''. Dabei hängt ''z''<sub>''n''</sub> vom Parameter ''c'' ab, dessen Realteil sich in den Bildern von links nach rechts von −2.2 bis 1 erstreckt, und dessen Imaginärteil von −1.4 bis 1.4 reicht.
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| - | {| class="wikitable" cellspacing="5"
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| - | |+Die Iteration z → z²+c nach n Schritten
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| - | |- class="hintergrundfarbe5"
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| - | ! width="160" | Iterationen
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| - | ! Beschreibung
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| - | |-
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-01.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 1<br />Nach dem ersten Schritt gilt ''z''<sub>''1''</sub>(c) = c. Das Bild ist also eine [[Benutzer:Georg-Johann/Mathematik#Visualising complex functions|farbige Darstellung]] der komplexen Zahlen ''c'', welche sich in dem gezeigten Gebiet befinden. Die Null wird dabei in Weiß dargestellt und Unendlich in Schwarz. Daher erscheint ein Punkt umso dunkler, je weiter er vom Ursprung entfernt ist. Die Farbe eines Punktes gibt Auskunft über sein [[Komplexe Zahl#Polarform|Argument]], also über den Winkel, den er mit der positiv-reellen Achse (rot) hat. Die negativ-reelle Achse ist türkis gefärbt.
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-02.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 2<br />Nach zwei Schritten gilt
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| - | :''z''<sub>2</sub>(''c'') = ''c''<sup>2</sup> + ''c'' = ''c''·(''c'' + 1)
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| - | Dieser Ausdruck wird Null für ''c'' = 0 sowie für ''c'' = −1. Die neu hinzugekommene linke Nullstelle liegt im Zentrum des Kopfes des Apfelmännchens, während die alte auf der rechten Seite das Herz der Leib-Zykloiden ist.
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-03.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 3<br />Die Anzahl der Nullstellen hat sich verdoppelt — wie nach jedem Iterationsschritt. Die reelle Nullstelle links liegt im Herz des kleinen Antennen-Satelliten. Es treten die ersten komplexwertigen Nullstellen ober- und unterhalb der reellen Achse auf. Diese Nullstellen liegen im Zentrum des jeweiligen Ärmchens.
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-04.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 4<br />Der Dutt ist entstanden: er gehört zur Nullstelle links neben der Kopf-Nullstelle bei −1. Die dargestellte Funktion
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| - | :''z''<sub>4</sub>(''c'') = (((''c''<sup>2</sup> + ''c'')<sup>2</sup> + ''c'')<sup>2</sup> + ''c'')<sup>2</sup> + ''c''
| |
| - | wird immer unübersichtlicher. Es lässt sich jedoch einfach nachrechnen, dass wenn ''c''<sub>o</sub> eine Nullstelle von ''z<sub>n</sub>'' ist, ''c''<sub>o</sub> auch eine Nullstelle von ''z<sub>k·n</sub>'' ist. Daher „erbt“ ''z''<sub>4</sub> die Nullstellen von ''z''<sub>2</sub>. Dieser Zusammenhang ist Ursache für das unten erläuterte [[#Periodisches Verhalten|periodische Verhalten der Knospen]].
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-05.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 5<br />Da 5 eine Primzahl ist, gibt es keine altbekannten Nullstellen — außer der null, welche von ''z''<sub>1</sub> bekannt ist. Da der Grad des [[Polynom]]s ''z<sub>n</sub>''(''c'') gleich 2<sup>n−1</sup> ist, wächst ''z<sub>n</sub>'' mit wachsendem ''n'' immer schneller gegen Unendlich. Dadurch bildet sich der Rand zwischen der Mandelbrotmenge und ihrem Äußeren immer klarer heraus.
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-09.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 9<br />Inzwischen gibt es bereits 256 Nullstellen, die munter innerhalb des Apfelmännchens verteilt sind. Da 3 ein Teiler von 9 ist, sind die Armknospen und der kleine Antennensatellit wieder mit einer Nullstelle an der Reihe, und leuchten daher hell auf.
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-17.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 17<br />Wieder eine Primzahl.
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-18.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 18<br />Mit ''n'' = 18 und 2<sup>17</sup> = 131 072 Nullstellen endet diese Bilderserie, ''n'' könnte man noch beliebig vergrößern, womit sich auch die Anzahl der neuen Knospen erhöht.
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| - | |}
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| - | ==== Repulsive Zyklen ====
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| - | Neben attraktiven Zyklen gibt es auch repulsive, die sich dadurch auszeichnen, dass Zahlenfolgen in ihrer Umgebung sich zunehmend von ihnen entfernen. Sie lassen sich jedoch erreichen, da jedes ''z<sub>n</sub>'' abgesehen von der Situation ''z<sub>n-1</sub>=0'' wegen des Quadrats in der Iterationsvorschrift zwei potenzielle Vorgänger in der Folge hat, die sich nur durch ihr Vorzeichen unterscheiden. ''c''-Werte, für die die zugehörige Folge irgendwann über einen solchen zweiten Vorläufer eines Periodenmitgliedes in einen derartigen instabilen Zyklus mündet, sind beispielsweise die „Naben“ der rad- bzw. spiralförmigen Strukturen sowie die Endpunkte der weitverbreiteten antennenartigen Strukturen, die sich formal als „Naben“ von „Rädern“ oder Spiralen mit einer einzigen Speiche interpretieren lassen. Derartige ''c''-Werte werden auch als [[Michal Misiurewicz|Misiurewicz]]-Punkte bezeichnet.
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| - | Ein Misiurewicz-Punkt ''c'' hat ferner die Eigenschaft, dass <math>\Bbb M</math> in seiner näheren Umgebung nahezu deckungsgleich mit demselben Ausschnitt der zugehörige Julia-Menge ''J''<sub>''c''</sub> ist. Je weiter man sich dem Misiurewicz-Punkt nähert, umso besser wird die Übereinstimmung. Da Julia-Mengen für ''c''-Werte innerhalb von <math>\Bbb M</math> zusammenhängend sind und außerhalb von <math>\Bbb M</math> Cantor-Mengen aus unendlich vielen Inseln mit der Gesamtfläche Null, sind sie in der Übergangszone am Rand von <math>\Bbb M</math> besonders filigran. Jeder Misiurewicz-Punkt ist aber gerade ein Randpunkt von <math>\Bbb M</math>, und jeder Ausschnitt der Randzone von <math>\Bbb M</math>, der sowohl Punkte in <math>\Bbb M</math> als auch außerhalb davon enthält, enthält unendlich viele davon. Damit ist der gesamte Formenreichtum sämtlicher Julia-Mengen dieses filigranen Typs in der Umgebung der Misiurewicz-Punkte in <math>\Bbb M</math> repräsentiert.
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| - | ==== Satelliten ====
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| - | Ein weiteres Strukturelement, das den Formenreichtum der Mandelbrotmenge begründet, sind die verkleinerten Kopien ihrer selbst, die sich in den filigranen Strukturen ihres Randes befinden. Dabei korrespondiert das Verhalten der Zahlenfolgen innerhalb eines Satelliten in folgender Weise mit dem der Folgen im Hauptkörper. Innerhalb eines Satelliten konvergieren alle Zahlenfolgen gegen Grenzzyklen, deren Perioden sich von denen an den entsprechenden Stellen im Hauptkörper von <math>\Bbb M</math> um einen Faktor p unterscheiden. Betrachtet man für einen bestimmten ''c''-Wert aus dem Satelliten nur jedes p-te Folgenglied, so ergibt sich eine Folge, die bis auf einen räumlichen Maßstabsfaktor nahezu identisch ist mit derjenigen, die sich für den entsprechenden ''c''-Wert im Hauptkörper von <math>\Bbb M</math> ergibt. Die mathematische Begründung hierfür ist tiefliegend; sie entstammt den Arbeiten von Douady und Hubbard über „polynomartige Abbildungen“.
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| - | Die zusätzlichen Strukturelemente in der unmittelbaren Umgebung eines Satelliten sind eine Folge davon, dass zwischen zwei der betrachteten Folgenglieder mit dem Indexabstand p sich eins mit dem Wert ''z<sub>n</sub>=0'' befinden kann, das damit einen periodischen Verlauf mit der Periode n begründet. Die entsprechende Folge außerhalb des Hauptkörpers divergiert jedoch, da sie keine solchen Zwischenglieder besitzt.
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| - | [[Datei:Newton-lplane-Mandelbrot-smooth.jpg|miniatur|Analyse des Verhaltens des Newton-Verfahrens zu einer Familie kubischer Polynome]]
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| - | Es handelt sich bei der Mandelbrot-Menge selbst um eine universelle Struktur, die auch bei völlig anderen nichtlinearen Systemen und Klassifizierungsregeln in Erscheinung treten kann. Grundvoraussetzung ist jedoch, dass die beteiligten Funktionen [[winkeltreu]] sind. Betrachtet man solche Systeme, die von einem komplexen Parameter ''c'' abhängen und klassifiziert ihr Verhalten bezüglich einer bestimmten Eigenschaft der Dynamik in Abhängigkeit von ''c'', dann findet man unter bestimmten Umständen in der Parameter-Ebene kleine Kopien der Mandelbrot-Menge. Ein Beispiel ist die Frage, für welche Polynome dritten Grades das iterative [[Newton-Verfahren]] zur Bestimmung von Nullstellen mit einem bestimmten Startwert versagt und für welche nicht.
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| - | Wie im nebenstehenden Bild kann die Mandelbrot-Menge dabei verzerrt auftreten, zum Beispiel sitzen dort die Armknospen an etwas anderer Stelle. Ansonsten ist die Mandelbrot-Menge jedoch vollkommen intakt, inklusive aller Knospen, Satelliten, Filamente und Antennen. Der Grund für das Auftauchen der Mandelbrot-Menge ist, dass die betrachtete Funktionenfamilien in bestimmten Gebieten – abgesehen von Drehungen und Verschiebungen – recht gut mit der Funktionenfamile
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| - | :<math>
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| - | \{f_c : z\mapsto z^2+c\}
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| - | </math>,
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| - | welche die Mandelbrot-Menge definiert, übereinstimmen. Dabei sind in einem gewissen Rahmen Abweichungen zulässig, und trotzdem kristallisiert sich die Mandelbrot-Menge heraus. Dieses Phänomen wird auch als ''strukturelle Stabilität'' bezeichnet und ist im Endeffekt auch verantwortlich für das Auftreten der Satelliten in der Umgebung von <math>\Bbb M</math>, weil Teilfolgen der iterierten Funktionen lokal das gleiche Verhalten zeigen wie die Gesamtfamilie.
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| - | ==== Intermediär wechselhaftes Verhalten ====
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| - | [[Datei:Mandelbrotmenge Orbit Seq 1.png|miniatur|center|600px|Darstellung des Betrages der Folgenglieder als Funktion des Iterationsschrittes ''n'' für einen ''c''-Wert mit besonders abwechslungsreichem Verhalten der Folge. Die auffälligen Brüche im Verhalten ergeben sich durch Beinahe-Einfänge in repulsive Zyklen, was temporär zu quasiperiodischem Verhalten führt.]]
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| - | [[Datei:Mandelbrotmenge Orbit 1.png|miniatur|Darstellung der Folgenglieder zum ''c''-Wert des vorherigen Diagramms als Punkte in der komplexen Ebene mit hinterlegter Mandelbrotmenge zur Orientierung. Die Helligkeit eines [[Pixel]]s ist ein Maß dafür, von wie vielen Punkten der Folge es getroffen wurde.]]
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| - | Durch die Möglichkeit der Zahlenfolge, wiederholt in die unmittelbaren Umgebung eines repulsiven Zyklus zu geraten, und bei dem anschließend tendenziell divergenten oder chaotischen Verhalten wiederum beinahe in einen anderen Zyklus zu geraten, können sich intermediär sehr komplizierte Verhaltensweisen der Folge ausbilden, bis sich der endgültige Charakter der Folge zeigt, wie die beiden Abbildungen demonstrieren. Die Umgebung der zugehörigen ''c''-Werte in <math>\Bbb M</math> ist entsprechend strukturreich.
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| - | Auch die Darstellung der Folgepunkte selbst in der komplexen Ebene zeigt in diesen Fällen eine größere Komplexität. Das quasiperiodische Verhalten in der Nachbarschaft eines repulsiven Zyklus führt in diesen Fällen oft zu spiralförmigen Strukturen mit mehreren Armen, wobei die Folgepunkte das Zentrum umkreisen, während der Abstand zu ihm zunimmt. Die Anzahl der Arme entspricht daher der Periode. Die Punktanhäufungen an den Enden der Spiralarme in der obigen Abbildung sind die Folge der beiden zugehörigen Beinahe-Einfänge durch repulsive (instabile) Zyklen.
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| - | <!-- Für Bildzuordnung zu den einzelnen Abschnitten -->
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| - | {{Absatz}}
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| - | === Dichteverteilung der Folgenglieder ===
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| - | [[Datei:TrajectoriesDensityplot.jpg|miniatur|Summarische Dichteverteilung der Folgenglieder für alle ''c''-Werte in einer farbkodierten Darstellung]]
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| - | Das nebenstehende Bild zeigt in der komplexen Ebene die Dichteverteilung der Folgenglieder, die sich durch Auswertung von 60 Millionen Folgen ergibt, wobei die Helligkeit ein Maß dafür ist, wie viele Orbitale durch den Punkt verlaufen. Blaue Bereiche kennzeichnen Folgenglieder mit kleinem Index, während eine gelbliche Färbung Folgenglieder mit hohen Indizes anzeigt. Folgen aus der großen Kardioide der Mandelbrotmenge tendieren zu einer Konvergenz zu einem ''c''-Wert auf einem Kreis um den Ursprung, der als runder Bereich mit sehr hoher Dichte zu erkennen ist. Die kleineren Gebilde nahe der imaginären Achse markieren die [[Komplexe Zahl#Komplexe Konjugation|konjugierten]] Bereiche, zwischen denen Folgenglieder vieler Folgen hin und her springen (Annäherung an einen Grenzzyklus mit der Periode 2 für große Folgenindizes).
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| - | === Bezug zur Chaostheorie ===
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| - | [[Datei:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg|miniatur|Im oberern Bildbereich sind Grenzzyklen der [[Logistische Gleichung|logistischen Gleichung]]<ref>Nach einer entsprechenden Koordinatentransformation. Für Details siehe die [[:Datei:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg#Note|Bildbeschreibung]]</ref> dargestellt, die reellen ''c''-Werten der Mandelbrotmenge entsprechen. Konvergenz geht über [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkation]] in [[Chaosforschung|Chaos]] über.]]
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| - | Das Bildungsgesetz, das der Folge zugrunde liegt, ist die einfachste nichtlineare Gleichung, anhand der sich der Übergang von Ordnung zu Chaos durch Variation eines Parameters provozieren lässt. Dazu genügt es, [[Reelle Zahl|reelle]] Zahlenfolgen zu betrachten.
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| - | Man erhält sie, wenn man sich auf die ''c''-Werte der x-Achse von <math>\Bbb M</math> beschränkt. Für Werte –0,75 ≤ ''c'' ≤ 0,25, das heißt innerhalb der Kardioide, konvergiert die Folge. Auf der „Antenne“, die bis ''c'' = -2 reicht, verhält sich die Folge chaotisch. Der Übergang zu chaotischem Verhalten erfolgt nun über ein Zwischenstadium mit periodischen Grenzzyklen. Dabei nimmt die Periode zum chaotischen Bereich hin stufenweise um den Faktor zwei zu, ein Phänomen, das als [[Periodenverdopplung]] und [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkation]] bezeichnet wird. Jeder ''c''-Bereich zu einer bestimmten Periode entspricht dabei einer der kreisförmigen „Knospen“ auf der x-Achse.
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| - | Die Periodenverdopplung beginnt mit dem „Kopf“ und setzt sich in der Folge der „Knospen“ zur „Antenne“ hin fort. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle und damit das der Knospendurchmesser zu unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die [[Feigenbaum-Konstante]] δ ≈ 4,669, eine fundamentale Konstante der Chaostheorie. Dieses Verhalten ist typisch für den Übergang realer Systeme zu chaotischer Dynamik. Die auffälligen Lücken im chaotischen Bereich entsprechen Inseln mit periodischem Verhalten, denen in der komplexen Ebene die Satelliten auf der „Antenne“ zugeordnet sind.
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| - | Für gewisse komplexe ''c''-Werte stellen sich Grenzzyklen ein, die auf einer geschlossenen Kurve liegen, deren Punkte jedoch nicht periodisch, sondern chaotisch abgedeckt werden. Eine solche Kurve ist in der Chaostheorie als sogenannter [[seltsamer Attraktor]] bekannt.
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| - | Die Mandelbrot-Menge ist daher ein elementares Objekt für die Chaostheorie, an der sich fundamentale Phänomene studieren lassen. Sie wird aus diesem Grund hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Chaostheorie gelegentlich mit der von [[Gerade]]n für die [[euklidische Geometrie]] verglichen.
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| - | == Grafische Darstellung ==
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| - | Die grafische Darstellung der Mandelbrot-Menge und ihrer Strukturen im Randbereich ist nur mittels [[Computer]] möglich. Dabei entspricht jedem Bildpunkt ein Wert ''c'' der komplexen Ebene. Der Computer ermittelt für jeden Bildpunkt, ob die zugehörige Folge divergiert oder nicht. Sobald der Betrag |''z''<sub>''n''</sub>| eines Folgengliedes den Wert ''R''=2 überschreitet, divergiert die Folge. Die Zahl der [[Iteration]]sschritte ''N'' gemäß obiger Rekursionsformel, nach denen das erfolgt, kann als Maß für den Divergenzgrad herangezogen werden. Über eine zuvor festgelegte Farbtabelle, die jedem Wert ''N'' eine Farbe zuordnet, wird in diesem Fall dem Bildpunkt eine Farbe zugewiesen.
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| - | Um in ästhetischer Hinsicht harmonische Grenzen zwischen aufeinanderfolgenden Farben zu erreichen, wird in der Praxis für die Grenze ''R'' nicht der kleinste mögliche Wert ''R''=2 gewählt, sondern ein Wert deutlich größer als 2, da andernfalls die Farbstreifenbreite oszilliert. Je größer dieser Wert gewählt wird, desto besser entsprechen die Farbgrenzen [[Äquipotentiallinie]]n, die man erhält, wenn man die Mandelbrot-Menge als [[Elektrische Ladung|elektrisch geladenen]] [[Leiter (Physik)|Leiter]] interpretiert. Für kontinuierliche Farbverläufe, wie beispielsweise in der obigen Zoom-Bilderserie, ist eine Auswertung des Faktors erforderlich, um den ''R'' bei der ersten Überschreitung übertroffen wurde.
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| - | Da die Zahl der Iterationsschritte ''N'', bevor die Grenze ''R'' überschritten wird, beliebig groß sein kann, muss für die praktische Durchführung der Rechnung ein Abbruchkriterium in Form einer maximalen Zahl von Iterationsschritten festgelegt werden. Werte von ''c'', deren Folgen danach die Grenze ''R'' noch nicht überschritten haben, werden zu <math>\Bbb M</math> gerechnet. Je geringer der Abstand von ''c'' zu <math>\Bbb M</math> ist, desto größer ist die Zahl ''N'', nach der ''R'' überschritten wird. Je stärker die Vergrößerung ist, mit der man den Rand von <math>\Bbb M</math> darstellen möchte, desto größer muss in diesem Fall die maximale Zahl von Iterationsschritten gewählt werden, und desto größer fällt auch die Rechenzeit aus. Konvergiert die Folge für einen Startwert ''c'', so kann die Berechnung der Folge auch schon früher abgebrochen werden.
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| - | Grafisch besonders reizvoll ist die Darstellung des Randes von <math>\Bbb M</math> mit seinem Formenreichtum. Je stärker die gewählte Vergrößerung ist, umso komplexere Strukturen lassen sich dort finden. Mit entsprechenden [[Computerprogramm]]en lässt sich dieser Rand wie mit einem [[Mikroskop]] mit beliebiger Vergrößerung darstellen. Die beiden einzigen künstlerischen Freiheiten, die dabei bestehen, sind die Wahl des Bildausschnittes sowie die Zuordnung von Farben zum Divergenzgrad.
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| - | Zur Untersuchung interessanter Strukturen sind oft Vergrößerungen erforderlich, die mit der üblichen Rechengenauigkeit gängiger Programmiersprachen aufgrund von Rundungsfehlern nicht darstellbar sind. Manche Programme enthalten daher spezielle [[Arithmetik]]-[[Routine (Programmierung)|Routinen]] für 100 Nachkommastellen oder auch deutlich mehr. Die damit erzielbaren Vergrößerungsfaktoren von etwa 10<sup>100</sup> bzw. mehr übersteigen selbst das Verhältnis vom Durchmesser des bekannten [[Universum|Kosmos]] zu dem eines [[Proton]]s von etwa 10<sup>40</sup> um einen astronomischen Faktor. Aber nicht nur zur Ausschnittsvergrößerung werden so viele Kommastellen gebraucht, sondern auch um bei einer längeren Iterationsfolge die auftretenden Rundungsfehler möglichst klein zu halten.
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| - | === Buddhabrot ===
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| - | [[Datei:Buddhabrot-deep.jpg|miniatur|Buddhabrot]]
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| - | Buddhabrot ist eine besondere Darstellung der Mandelbrot-Menge, die im Gesamtbild in entsprechender Orientierung einer klassischen [[Buddha]]-Darstellung ähnelt. So wie bei der oben angeführten Dichteverteilung die Spuren der konvergierenden Anfangswerte aufgezeichnet werden, werden hier die Spuren der divergierenden Anfangswerte aufgezeichnet. Es wird also wiederholt ein zufälliger Startwert ausgewählt und überprüft, ob dieser nach einer vorgegebenen Anzahl Iterationen divergiert. Tut er das, so wird seine Spur in der komplexen Zahlenebene festgehalten. Im entstehenden Bild werden die Pixel umso heller gefärbt, je öfter sie getroffen wurden. Das genaue Aussehen des Bildes hängt davon ab, wie hoch die vorgegebene Anzahl von Iterationen ist. Werden die Punkte länger iteriert, so wird das Bild umfangreicher und detaillierter, benötigt aber auch mehr Rechenzeit zum Generieren. Es kann eine Art Falschfarbenbild zusammengesetzt werden, indem Bilder mit unterschiedlichen Iterationsanzahlen in verschiedenen Farben übereinandergelegt werden.
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| - | Mit einer (ironisch) esoterischen Sichtweise könnte man das Buddhabrot als ein Symbol des irdischen Lebens ansehen: die Summe aller Spuren, die hinterlassen werden von denen, die an zufälliger Stelle erscheinen und letztlich in die Unendlichkeit verschwinden müssen. Das „Schicksal“ eines Punktes im Laufe seiner Spur wird dabei stark (multiplikativ) von seiner momentanen Situation und weniger stark (additiv) von seiner ursprünglichen Ausgangssituation bestimmt. Die Spur eines Einzelnen wirkt rein zufällig, das Gesamtbild Aller jedoch ästhetisch. Welchen Bereich man sich auch genauer ansieht, man kann immer neue Details erkennen, die jeweils an das Ganze erinnern, aber doch einzigartig sind.
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| - | === Dreidimensionale Darstellung ===
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| - | [[Datei:Mandelbulb 5 iterations.png|miniatur|Mandelbulb]]
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| - | Es gibt verschiedene Ansätze, eine dreidimensionale Darstellung der Mandelbrot-Form zu erreichen.
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| - | Zuvor gab es z.B. Ansätze, einfach die klassische zweidimensionale Form zu [[Extrusion (Geometrie)|extrudieren]].<ref>[http://skytopia.com/project/fractal/mandelbrot.html skytopia.com/project/fractal/mandelbrot.html]</ref>
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| - | Erst 2007 kam von Daniel White und Paul Nylander ein Ansatz, der eine raumgreifende Form entwickelt (im englischen Sprachraum bekannt als „Mandelbulb“), die ihren Formenreichtum von Anfang an in alle drei Dimensionen entwickelt und den typischen unbeschränkten Detailreichtum in allen drei Dimensionen aufweist. Dieser Ansatz basiert nicht auf einem [[Iteriertes Funktionensystem|iterierten Funktionensystem]] (IFS).<ref>[http://skytopia.com/project/fractal/mandelbulb.html skytopia.com/project/fractal/mandelbulb.html]</ref>
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| - | == Programmbeispiel ==
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| - | === Iteration über alle Bildpunkte ===
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| - | Das folgende Programmbeispiel geht davon aus, dass die Pixel des Ausgabemediums durch [[Koordinaten]] ''pix_x'' und ''pix_y'' mit einem Wertebereich von ''1'' bis jeweils ''max_x'' und ''max_y'' adressierbar sind. Die Berechnung des dem Pixel zugeordneten komplexen Zahlenwerts ''c'' mit dem Realteil ''c<sub>x</sub>'' und dem Imaginärteil ''c<sub>y</sub>'' erfolgt mittels geometrischer Überlegungen.
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| - | Die maximale Anzahl von Iterationsschritten ist ''max_iterationen''. Wird dieser Wert überschritten, so wird das entsprechende Pixel der Menge <math>\Bbb M</math> zugeordnet. Der Wert von ''max_iterationen'' sollte mindestens 100 betragen. Bei stärkerer Vergrößerung sind zur korrekten Darstellung der Strukturen unter Umständen erheblich größere Werte erforderlich und damit auch deutlich größere Rechenzeiten. ''punkt_abstand_x'' und ''punkt_abstand_y'' sind ein Maß für den Zoomfaktor in x- bzw. y-Richtung.
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| - | <source lang="vb">
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| - | FOR pix_x = 1 TO max_x
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| - | cx = min_cx + pix_x * punkt_abstand_x
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| - |
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| - | FOR pix_y = 1 TO max_y
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| - | cy = min_cy + pix_y * punkt_abstand_y
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| - |
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| - | iterations_wert = punkt_iteration ( cx, cy, max_betrags_quadrat, max_iterationen )
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| - |
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| - | farb_wert = waehle_farbe ( iterations_wert, max_iterationen )
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| - |
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| - | plot pix_x pix_y farb_wert
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| - |
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| - | NEXT pix_y
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| - | NEXT pix_x
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| - | </source>
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| - |
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| - | === Iteration eines Bildpunktes ===
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| - | Die Iteration von ''n'' nach ''n+1'' für einen Punkt ''c'' der komplexen Zahlenebene erfolgt mittels der komplexen Gleichung
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| - |
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| - | : <math>
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| - | \begin{matrix}
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| - | z_{n+1} &=& z_n^2 + c &&
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| - | \end{matrix}
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| - | </math>,
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| - | die sich mittels der Zerlegung der komplexen Zahl ''z'' in ihren Realteil ''x'' und Imaginärteil ''y'' in zwei reelle Gleichungen
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| - |
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| - | : <math>
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| - | \begin{matrix}
| |
| - | x_{n+1} &=& x_n^2 - y_n^2 + c_x &&
| |
| - | \end{matrix}
| |
| - | </math>
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| - | und
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| - | : <math>
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| - | \begin{matrix}
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| - | y_{n+1} &=& 2 x_n y_n + c_y &&
| |
| - | \end{matrix}
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| - | </math>
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| - |
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| - | umwandeln lässt.
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| - | Falls das Quadrat des Betrags der ''(n+1)''-sten Zahl, gegeben durch
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| - |
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| - | : <math>
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| - | \begin{matrix}
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| - | |z_{n+1}|^2 &=& x_{n+1}^2 + y_{n+1}^2 &&
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| - | \end{matrix}
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| - | </math>
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| - |
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| - | den Wert ''max_betrag_quadrat'' (mindestens 2 * 2 =4) überschreitet, wird die Iteration abgebrochen, und die Anzahl der bislang erfolgten Iterationssschritte für die Zuordnung eines Farbwertes verwendet. Falls das Quadrat des Betrags nach einer gegebenen maximalen Anzahl von Iterationsschritten den ''max_betrag_quadrat'' nicht überschritten hat, wird angenommen, dass die Iteration beschränkt bleibt, und die Iterationsschleife abgebrochen.
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| - |
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| - | Die folgende Funktion führt die beschriebene Iteration durch. ''x'' und ''xt'' sowie ''y'' und ''yt'' sind die iterativ benutzten Variablen für die Iterationswerte.
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| - | <source lang="vb">
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| - | FUNCTION punkt_iteration (cx, cy, max_betrag_quadrat, max_iter)
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| - |
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| - | betrag_quadrat = 0
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| - | iter = 0
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| - | x = 0
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| - | y = 0
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| - | WHILE ( betrag_quadrat <= max_betrag_quadrat ) AND ( iter < max_iter )
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| - | xt = x * x - y * y + cx
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| - | yt = 2 * x * y + cy
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| - | x = xt
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| - | y = yt
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| - | iter = iter + 1
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| - | betrag_quadrat = x * x + y * y
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| - | END
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| - |
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| - | punkt_iteration = iter
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| - |
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| - | END FUNCTION
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| - | </source>
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| - | Wird ein kontinuierlicherer Farbverlauf gewünscht, so bietet sich alternativ die Formel
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| - |
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| - | <source lang="vb">
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| - | punkt_iteration = iter – log(log(betrag_quadrat) / log(4)) / log(2)
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| - | </source>
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| - | an, die keine ganze, sondern eine gebrochene Zahl liefert. Für die Folge mit ''c''=0 und dem Startwert ''z''<sub>''0''</sub>=''2'' liefert diese Formel den Wert Null. Es ergibt sich ferner eine von ''max_betrag_quadrat'' unabhängige Farbgebung, sofern dieser Wert groß gegen 1 ist.
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| - | Ein erheblicher Teil der Rechenzeit wird dort benötigt, wo die Zahlenfolge nicht divergiert. Moderne Programme bemühen sich, mit verschiedenen Verfahren die Rechenzeit für diese Stellen zu reduzieren. Eine Möglichkeit besteht darin, die Rechnung bereits abzubrechen, wenn die Zahlenfolge konvergiert ist oder sich in einem periodischen Zyklus gefangen hat. Andere Programme nutzen aus, dass jeder Punkt im Inneren einer geschlossenen Kurve, die nur Punkte aus <math>\Bbb M</math> enthält, ebenfalls dazugehört.
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| - | == Rezeption in der Öffentlichkeit ==
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| - | [[Datei:Mandelbrot island.jpg|thumb|Computergenerierte Landschaftsgrafik einer Insel in Form der Mandelbrot-Menge, gerendert mit dem Programm [[Terragen]]]]
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| - | Die Mandelbrot-Menge erlangte durch Publikationen von Bildern in den Medien Ende der 1980er Jahre einen für ein mathematisches Thema dieser Art ungewöhnlich großen Bekanntheitsgrad. Sie dürfte das populärste Fraktal und möglicherweise das populärste Objekt der zeitgenössischen Mathematik überhaupt sein.<ref>Peitgen, Jürgens, Saupe: ''Chaos, Bausteine der Ordnung'', Rowohlt, ISBN 3-499-60551-1, Seite 431</ref> Ein Aspekt neben dem enormen geometrischen Formenreichtum ist der extreme Kontrast zwischen diesem und der Einfachheit des zugrunde liegenden Algorithmus, der an biologische Systeme erinnert, bei denen nach naturwissenschaftlicher Sicht ebenfalls aus einer vergleichsweise geringen Zahl von Regeln äußerst komplexe Systeme entstehen können. Ein weiterer Aspekt ist die Nähe zur [[Chaosforschung|Chaostheorie]], die ebenfalls in der Öffentlichkeit großes Interesse geweckt hatte. Die Mandelbrot-Menge hat auch [[Computerkunst|Computerkünstler]] inspiriert und zu einem Aufschwung fraktaler Konzepte beigetragen. Dabei fanden und finden auch zahlreiche Modifikationen des [[Algorithmus]] Anwendung, welcher der Mandelbrot-Menge zugrunde liegt.
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| - | Der [[Vereinigte Staaten|amerikanische]] [[Musiker]] [[Jonathan Coulton]] hat ein [[Lied]] über die Mandelbrot-Menge veröffentlicht, in welchem [[Benoît Mandelbrot]] dafür gedankt wird, dass er Ordnung in das Chaos gebracht habe.<ref>http://www.jonathancoulton.com/songdetails/Mandelbrot%20Set</ref>
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| - | == Siehe auch ==
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| - | * [[Fractint]] (freies Generator-Programm)
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| - | == Einzelnachweise ==
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| - | <references />
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| - |
| |
| - | == Literatur ==
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| - | * [[Benoît Mandelbrot]]: ''Die fraktale Geometrie der Natur''. ISBN 3-7643-2646-8.
| |
| - | * John Briggs und F. David Peat: ''Die Entdeckung des Chaos''. ISBN 3-446-15966-5.
| |
| - | * [[Heinz-Otto Peitgen]] und Peter H. Richter: ''The Beauty of Fractals''. ISBN 0-387-15851-0.
| |
| - | * Heinz-Otto Peitgen und Dietmar Saupe: ''The Science of Fractal Images''. ISBN 0-387-96608-0.
| |
| - | * Karl Günter Kröber: ''Das Märchen vom Apfelmännchen – 1. Wege in die Unendlichkeit''. ISBN 3-499-60881-2.
| |
| - | * Karl Günter Kröber: ''Das Märchen vom Apfelmännchen – 2. Reise durch das malumitische Universum''. ISBN 3-499-60882-0.
| |
| - |
| |
| - | == Weblinks ==
| |
| - | {{Commonscat|Mandelbrot sets|Mandelbrot-Menge}}
| |
| - | * [http://www.mrob.com/pub/muency.html The Encyclopedia of the Mandelbrot Set] (englisch)
| |
| - | * [http://jumk.de/facharbeit/ Facharbeit über Juliamengen und Mandelbrot-Menge]
| |
| - | * [http://www.iec.csic.es/~miguel/Atlas.html Schwarz-Weiß-Atlas, etwa 20-fach]
| |
| - | * [http://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm Animationen zur Zoomfahrt im hiesigen Artikel] – bis zu 1024×768 Pixeln
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| - | {{Lesenswert|13. Oktober 2005|9950882}}
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| - | [[Kategorie:Fraktale Geometrie]]
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| - | {{Link GA|lv}}
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| - | [[ar:مجموعة ماندلبرو]]
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| - | [[ca:Conjunt de Mandelbrot]]
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| - | [[cs:Mandelbrotova množina]]
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| - | [[en:Mandelbrot set]]
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| - | [[es:Conjunto de Mandelbrot]]
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| - | [[fa:مجموعه مندلبرو]]
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| - | [[fi:Mandelbrotin joukko]]
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| - | [[fr:Ensemble de Mandelbrot]]
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| - | [[gl:Conxunto de Mandelbrot]]
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| - | [[he:קבוצת מנדלברוט]]
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| - | [[hr:Mandelbrotov skup]]
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| - | [[hu:Mandelbrot-halmaz]]
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| - | [[is:Mandelbrot mengið]]
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| - | [[it:Insieme di Mandelbrot]]
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| - | [[ja:マンデルブロ集合]]
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| - | [[ko:만델브로 집합]]
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| - | [[lv:Mandelbrota kopa]]
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| - | [[nl:Mandelbrotverzameling]]
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| - | [[no:Mandelbrotmengden]]
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| - | [[pl:Zbiór Mandelbrota]]
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| - | [[pt:Conjunto de Mandelbrot]]
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| - | [[ro:Mulțimea lui Mandelbrot]]
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| - | [[ru:Множество Мандельброта]]
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| - | [[sh:Mandelbrotov skup]]
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| - | [[simple:Mandelbrot set]]
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| - | [[sk:Mandelbrotova množina]]
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| - | [[sl:Mandelbrotova množica]]
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| - | [[sr:Mandelbrotov skup]]
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| - | [[sv:Mandelbrotmängden]]
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| - | [[te:మేండెల్బ్రాట్ సెట్]]
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| - | [[th:เซตมานดัลบรอ]]
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| - | [[tr:Mandelbrot kümesi]]
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| - | [[uk:Множина Мандельброта]]
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| - | [[zh:曼德勃羅集合]]
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| - | Die '''Mandelbrot-Menge''' ist eine [[fraktal]] erscheinende [[Menge (Mathematik)|Menge]], die eine bedeutende Rolle in der [[Chaosforschung]] spielt. Der Rand der Menge weist eine [[Selbstähnlichkeit]] auf, die jedoch nicht exakt ist, da es zu Verformungen kommt. Die Visualisierung der Menge wird im allgemeinen Sprachgebrauch oft auch ''Apfelmännchen'' genannt. Die ersten computergrafischen Darstellungen wurden 1978 von [[Robert Brooks]] und [[Peter Matelski]] vorgestellt. 1980 veröffentlichte [[Benoît Mandelbrot]], nach dem die Menge benannt wurde, eine Arbeit über das Thema.<ref>Benoît Mandelbrot, ''Fractal aspects of the iteration of <math>z\mapsto\lambda z(1-z)</math> for complex <math>\lambda, z</math>'', Annals of the New York Academy of Sciences '''357''', 249–259</ref> Darauf folgend wurde sie von [[Adrien Douady]] und [[John Hamal Hubbard]] in einer Reihe grundlegender mathematischer Arbeiten systematisch untersucht.<ref>Adrien Douady und John H. Hubbard, ''Etude dynamique des polynômes complexes'', Prépublications mathémathiques d'Orsay, 2/4, 1984/1985 [http://portail.mathdoc.fr/PMO/PDF/D_DOUADY_84_02.pdf (PDF)]</ref> Die mathematischen Grundlagen dafür wurden bereits 1905 von dem französischen Mathematiker [[Pierre Fatou]] erarbeitet.
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| - | [[Datei:Mandelbrot set with coloured environment.png|miniatur|Mandelbrot-Menge (schwarz) mit farbig dargestellter Umgebung. Jedem [[Pixel]] ist eine bestimmte [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolge]] zugeordnet. Der Folgenindex, ab dem alle Folgenglieder einen Betrag größer als 1000 haben, wächst von Farbstreifen zu Farbstreifen zur Mandelbrot-Menge hin um den Wert 1.]]
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| - | [[Datei:Mandelbrot12800x9600.jpg|miniatur|Weitere Mandelbrot-Menge mit höherer Auflösung]]
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| - | == Bekanntheit ==
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| - | Außerhalb der Fachwelt wurde die Mandelbrot-[[Menge (Mathematik)|Menge]] vor allem durch den ästhetischen Wert dieser [[Computergrafik]]en bekannt, der durch künstlerische Farbgestaltung des Außenbereichs, der nicht zur Menge gehört, unterstützt wird. Die Mandelbrot-Menge wird als das formenreichste [[Geometrie|geometrische]] Gebilde bezeichnet. Dieser Formenreichtum zeigt sich an stark vergrößerten Ausschnitten des Randes, die überdies Beispiele für das Konzept der [[Selbstähnlichkeit]] bei Fraktalen liefern. Trotz der hohen inneren Ordnung wurde die Mandelbrot-Menge zum Symbol für das [[Chaosforschung|mathematische Chaos]], welches sich allerdings von [[Chaos]] im umgangssprachlichen Sinne grundsätzlich unterscheidet.
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| - | Die Bezeichnung „Apfelmännchen“ leitet sich von der geometrischen Grobform einer um 90 Grad im Uhrzeigersinn gedrehten Mandelbrotmenge her.
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| - | == Definition ==
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| - | [[Datei:Mandelset hires.png|miniatur|Die Mandelbrot-Menge (schwarz) in der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]]]]
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| - | === Definition über Rekursion ===
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| - | Die Mandelbrot-Menge <math>\Bbb M</math> ist die Menge aller [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>c</math>, für welche die [[Rekursion|rekursiv]] [[Definition|definierte]] [[Folge (Mathematik)|Folge]] komplexer Zahlen <math>z_0, z_1, z_2, \ldots</math> mit dem Bildungsgesetz
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| - | :<math>z_{n+1} = z_n^2 + c</math>
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| - | und dem Anfangsglied
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| - | :<math>z_0 = 0</math>
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| - | [[Beschränktheit|beschränkt]] bleibt, das heißt, der [[Betragsfunktion|Betrag]] der Folgenglieder wächst nicht über alle Grenzen. Die grafische Darstellung dieser Menge erfolgt in der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]]. Die Punkte der Menge werden dabei in der Regel schwarz dargestellt und der Rest farbig, wobei die Farbe eines Punktes den Grad der [[Grenzwert (Folge)|Divergenz]] der zugehörigen Folge widerspiegelt ([[Mandelbrot-Menge#Grafische Darstellung|siehe unten]]).
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| - | === Definition über Julia-Mengen ===
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| - | Die Mandelbrot-Menge <math>\Bbb M</math> wurde von Benoît Mandelbrot ursprünglich zur Klassifizierung von [[Julia-Menge]]n eingeführt, die bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern [[Gaston Maurice Julia]] und [[Pierre Fatou]] untersucht wurden. Die Julia-Menge <math>J_c</math> zu einer bestimmten komplexen Zahl <math>c</math> ist definiert als der [[Rand (Topologie)|Rand]] der Menge aller Anfangswerte <math>z_0</math>, für die die obige Zahlenfolge beschränkt bleibt. Man kann [[Beweis (Mathematik)|beweisen]], dass die Mandelbrot-Menge <math>\Bbb M</math> genau die Menge der Werte <math>c</math> ist, für die die zugehörige Julia-Menge <math>J_c</math> [[zusammenhängend]] ist.
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| - | === Verallgemeinerte Mandelbrot-Mengen ===
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| - | Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die oben definierte Menge <math>\Bbb M</math> als ''die'' Mandelbrot-Menge bezeichnet. Verwendet man anstelle des obigen Bildungsgesetzes die Rekursionsregel
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| - | :<math>z_{n+1} = f_c(z_n)</math>
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| - | mit einer von einem komplexen [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] <math>c</math> abhängigen [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>f_c</math> innerhalb der komplexen Zahlen, so lässt sich in analoger Weise eine zu dieser Abbildung gehörige Mandelbrot-Menge und entsprechende Julia-Mengen definieren. Der Startwert <math>z_0</math> muss ein [[Kritischer Punkt (Mathematik)|kritischer Punkt]] sein, das heißt, es muss <math>f_c'(z_0) = 0</math> gelten.
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| - | Dieses Verfahren kann auch für Funktionen mit mehr als einem komplexen Parameter <math>c</math> erweitert werden. Allerdings ist dann eine grafische Darstellung in zwei Dimensionen ohne Projektion nicht mehr möglich.
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| - | Die folgenden Ausführungen beziehen sich nur auf die üblicherweise betrachtete Mandelbrot-Menge.
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| - | == Geometrische und mathematische Eigenschaften ==
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| - | [[Datei:Fractal-zoom-1-15-rupture.ogg|miniatur|Video: Zoom in eine Mandelbrot-Menge]]
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| - | Der ungeheure Formenreichtum der Mandelbrot-Menge erschließt sich aus ihrem Bezug zu [[Julia-Menge]]n. Julia-Mengen zur Iteration ''z''→''z''<sup>2</sup>+''c'' sind Fraktale, außer für einige ''c''-Werte wie ''c''=−2 (Strecke) oder ''c''=0 (Kreis). Die Formen dieser fraktalen Strukturen sind innerhalb einer Julia-Menge stets die gleichen, umspannen aber für Julia-Mengen zu verschiedem Parameter ''c'' einen enormen Formenreichtum. Es zeigt sich, dass die Strukturen der Mandelbrot-Menge in der Umgebung eines bestimmten Wertes ''c'' genau jene Strukturen der zugehörigen Julia-Menge <math>J_c</math> wiedergeben. Damit enthält die Mandelbrot-Menge den kompletten Formenreichtum der unendlich vielen Julia-Mengen (s. u.).
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| - | In den fraktalen Strukturen am Rand findet man verkleinerte ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, so genannte ''Satelliten''. Jeder Bildausschnitt der Mandelbrot-Menge, der sowohl Punkte aus <math>\Bbb M</math> als auch solche außerhalb <math>\Bbb M</math> umfasst, enthält unendlich viele dieser Satelliten. Unmittelbar am Rand eines Satelliten treten fast die gleichen Strukturen auf, wie an den entsprechenden Stellen des Originals. Diese Strukturen sind jedoch nach weiter außen hin mit den Strukturen kombiniert, die für die größere Umgebung des Satelliten typisch sind. Diese Situation wird gelegentlich mit der eines biologischen Organismus und seiner [[Gen]]e verglichen. Danach entspricht jedem Satelliten die [[Desoxyribonukleinsäure|Erbsubstanz]] einer [[Zelle (Biologie)|Zelle]], die den Bauplan für den kompletten Organismus enthält, während nach außen hin nur die Strukturen des lokalen [[Organ (Biologie)|Organs]] [[Exprimierung|exprimiert]] sind. Es handelt sich dabei jedoch um ein rein formales Gleichnis ohne kausalen Hintergrund.
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| - | Da jeder Satellit wiederum mit Satelliten höherer Ordnung bestückt ist, lässt sich immer eine Stelle finden, an der eine beliebige Anzahl beliebiger verschiedener Strukturen in beliebiger Reihenfolge kombiniert auftritt. Diese Strukturen sind dann allerdings nur bei extremer Vergrößerung erkennbar.
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| - | Die Mandelbrot-Menge ist [[Achsensymmetrie|spiegelsymmetrisch]] zur reellen Achse. Sie ist zusammenhängend (das heißt, sie bildet keine Inseln) und voll (sie hat also keine Löcher). (Ob M [[einfach zusammenhängend]] ist, ist nicht bekannt, denn es ist nicht einmal bekannt, ob M [[wegzusammenhängend]] ist.) Die Mandelbrotmenge ist nicht [[Selbstähnlichkeit|selbstähnlich]], denn keine zwei Teilstrukturen ihres Randes sind exakt gleich; aber in der Nähe vieler Randpunkte bilden sich bei fortgesetzter Ausschnittvergrößerung im Grenzwert periodische Strukturen.
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| - | Da die Mandelbrot-Menge Kardioid- und Kreisflächen enthält, hat sie die [[fraktale Dimension]] zwei. Der Rand der Mandelbrot-Menge hat eine unendliche Länge, und seine [[Hausdorff-Dimension]] beträgt nach Arbeiten von [[Mitsuhiro Shishikura]] ebenfalls zwei; das impliziert, dass auch die [[Box-Dimension]] den Wert 2 hat. Es ist denkbar, dass der Rand der Mandelbrotmenge einen positiven (notwendig endlichen) Flächeninhalt hat; andernfalls wäre dieser Flächeninhalt null. Der Flächeninhalt der Mandelbrot-Menge ist nicht bekannt und beträgt nach numerischen Schätzungen etwa 1,506 591 77. Einer Spekulation zufolge beträgt der exakte Wert <math>\sqrt{6\pi -1} - e = 1{,}506\,591\,651 \ldots</math><ref>[http://www.mrob.com/pub/muency/pixelcounting.html Pixel Counting, Mu-Ency at MROB<!-- Automatisch generierter titel -->]</ref>.
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| - | Die Frage, ob die Mandelbrotmenge [[entscheidbar]] ist, gibt zunächst keinen Sinn, da <math>\Bbb M</math> [[Überabzählbarkeit|überabzählbar]] ist. Einen Ansatz, den Begriff der Entscheidbarkeit auf überabzählbare Mengen zu verallgemeinern, stellt das [[Blum-Shub-Smale-Modell]] dar. Innerhalb dessen ist die Mandelbrotmenge nicht entscheidbar.
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| - | === Bildergalerie einer Zoomfahrt ===
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| - | Die folgende exemplarische Bildersequenz einer Zoomfahrt an eine bestimmte Stelle ''c'' gibt einen Eindruck vom geometrischen Formenreichtum und erläutert gewisse typische Strukturelemente. Die Vergrößerung im letzten Bild beträgt etwa 1 zu 60 Milliarden. Bezogen auf einen üblichen Computerbildschirm verhält sich dieser Ausschnitt wie zu der Gesamtgröße des Apfelmännchens von 2,5 Millionen Kilometern, dessen Rand in dieser [[Auflösungsvermögen|Auflösung]] eine unvorstellbare Fülle verschiedenster fraktaler Strukturen aufweist.
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| - | {| class="wikitable" cellspacing="5"
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| - | |- class="hintergrundfarbe5"
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| - | ! width="160" | Bild
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| - | ! Beschreibung
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| - | | [[Datei:mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|center|150px|center|Startbild]]
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| - | | valign="top" | '''Startbild:'''<br />Die Mandelbrot-Menge mit stufenlos eingefärbtem Außenraum.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 01 head and shoulder.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 1]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 1:'''<br />Spalte zwischen „Kopf“ und „Körper“, auch „Tal der Seepferdchen“ genannt.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 02 seehorse valley.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 2]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 2:'''<br />Links Doppelspiralen, rechts „Seepferdchen“.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 03 seehorse.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 3]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 3:'''<br />„Seepferdchen“. Der „Körper“ wird von 25 „Speichen“ gebildet, von denen sich zwei Zwölfergruppen nach Art einer [[Metamorphose]] auf jeweils einen der beiden „Finger“ an der „oberen Hand“ des Apfelmännchens zurückführen lassen. Die Zahl der „Speichen“ nimmt daher von einem „Seepferdchen“ zum nächsten um zwei zu. Die „Nabe“ wird von einem [[Misiurewicz-Punkt]] gebildet (s. u.). Zwischen „Oberkörper“ und „Schwanz“ ist ein deformierter Satellit erkennbar.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 4]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 4:'''<br />Der „Seepferdchenschwanz“ endet ebenfalls in einen Misiurewicz-Punkt.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 05 tail part.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 5]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 5:'''<br />Teil des „Schwanzes“. Der einzige Pfad, der sich durch den gesamten „Schwanz“ windet, und damit gewährleistet, dass <math>\Bbb M</math> einfach zusammenhängend ist, führt im Zickzack von einer „Schwanzseite“ zur anderen und passiert dabei die „Naben“ der großen 25-spiraligen Gebilde.
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| - | |-
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| - | | [[Datei:mandel zoom 06 double hook.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 6]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 6:'''<br />Satellit. Die beiden „Seepferdchenschwänze“ bilden den Auftakt für eine Folge von konzentrischen Kränzen mit dem Satelliten im Zentrum.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 07 satellite.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 7]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 7:'''<br />Jeder dieser Kränze besteht aus gleichartigen Strukturelementen, deren Anzahl pro Kranz mit Potenzen von 2 wächst, ein typisches Phänomen in der Umgebung von Satelliten. Der oben erwähnte Pfad durch den „Seepferdchenschwanz“ passiert den Satelliten über die Kerbe der Kardioide und die Spitze der „Antenne“ auf dem „Kopf“.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 08 satellite antenna.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 8]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 8:'''<br />„Antenne“ des Satelliten. Auf ihr sind mehrere Satelliten 2. Ordnung erkennbar.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 9]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 9:'''<br />„Tal der Seepferdchen“ des Satelliten. Es zeigen sich die gleichen Strukturelemente wie in Ausschnitt 1.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 10]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 10:'''<br />Doppelspiralen und „Seepferdchen“, die jedoch im Unterschied zu Ausschnitt 2 nach außen hin mit seepferdchenschwanzartigen Fortsätzen bestückt sind. Dieses Phänomen demonstriert die für Satelliten n-ter Ordnung typischen Verkettungen von n+1 Strukturelementen für den Fall n=1.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 11]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 11:'''<br />Doppelspiralen mit Satelliten 2. Ordnung. Sie lassen sich als Metamorphose der „Antenne“ interpretieren.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 12]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 12:'''<br />Im Bereich der äußeren Fortsätze sind stets inselartige Strukturen eingestreut, die Julia-Mengen ''J<sub>c</sub>'' ähneln. Die im Bild größte ist im Zentrum des „Doppelhakens“ rechts gerade eben erkennbar.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 13]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 13:'''<br />Teil des „Doppelhakens“.
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| - | | [[Datei:mandel zoom 14 satellite julia island.jpg|center|150px|center|Ausschnitt 14]]
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| - | | valign="top" | '''Ausschnitt 14:'''<br />Diese Inseln scheinen auf den ersten Blick nach Art von [[Cantor-Menge]]n wiederum aus unendlich vielen unzusammenhängenden Teilstücken zu bestehen, wie es für die zugehörigen ''J<sub>c</sub>'' tatsächlich der Fall ist, sie sind jedoch hier über filigrane Strukturen miteinander verbunden. Diese Strukturen gehen von einem Satelliten im Zentrum aus, der bei dieser Vergrößerung noch nicht sichtbar ist, und zwar derart, dass das Ganze ein einfach zusammenhängendes Gebilde ergibt. Der zum entsprechenden ''J<sub>c</sub>'' gehörige ''c''-Wert ist nicht der des Bildzentrums, sondern hat relativ zum Hauptapfelmännchen die gleiche Position wie das Bildzentrum zum Satelliten, der in Ausschnitt 7 dargestellt ist.
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| - | |}
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| - | Eine Animation zu dieser Zoomfahrt findet sich bei den [[#Weblinks|Weblinks]].
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| - | == Verhalten der Zahlenfolge ==
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| - | Die verschiedenen Strukturelemente von <math>\Bbb M</math> stehen in engem Zusammenhang mit bestimmten Verhaltensweisen der Zahlenfolge, die <math>\Bbb M</math> zugrunde liegt. Je nach Wert von ''c'' ergibt sich eine der folgenden vier Möglichkeiten:
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| - | * Sie strebt gegen einen festen Wert ([[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]]).
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| - | * Sie konvergiert gegen einen [[periodisch]]en Grenzzyklus, der aus 2 oder mehr Zahlen besteht.
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| - | * Sie wiederholt sich nie, bleibt aber beschränkt (für manche dieser Parameter ergibt sich chaotisches Verhalten).
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| - | * Sie strebt gegen Unendlich ([[Grenzwert (Folge)|bestimmte Divergenz]]).
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| - | Alle ''c''-Werte, die zu den ersten drei Verhaltensweisen führen, gehören zu <math>\Bbb M</math>.
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| - | === Geometrische Zuordnung ===
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| - | Konvergenz liegt genau für die Werte von ''c'' vor, die das Innere der [[Kardioide]] bilden, den „Körper“ des Apfelmännchens, sowie für abzählbar viele ihrer Randpunkte. Periodische Grenzzyklen findet man in den (angenähert) kreisförmigen „Knospen“ wie z. B. im „Kopf“, in den Kardioiden der Satelliten, sowie ebenfalls auf abzählbar vielen Randpunkten dieser Komponenten. Eine fundamentale [[Vermutung (Mathematik)|Vermutung]] besagt, dass es für alle inneren Punkte der Mandelbrotmenge einen Grenzzyklus gibt. Die Folge ist echt vorperiodisch für abzählbar viele Parameter, die oft Misiurewicz-Thurston-Punkte genannt werden. Dazu gehören die „Antennenspitzen“, wie z. B. Punkt z = -2 ganz links, und Verzweigungspunkte der Mandelbrotmenge.
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| - | In den überabzählbar vielen übrigen Punkten der Mandelbrotmenge kann sich die Folge auf viele verschiedene Weisen verhalten, die jeweils sehr unterschiedliche dynamische Systeme erzeugen, und die teilweise Gegenstand intensiver Forschung sind. Je nach Definition des Wortes kann man „chaotisches“ Verhalten finden.
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| - | === Periodisches Verhalten ===
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| - | ==== Die kreisförmigen Strukturen ====
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| - | [[Datei:Mandelbrot Set – Periodicities coloured.png|miniatur|Mandelbrotmenge mit farbig dargestellter Periodenlänge der Grenzzyklen]]
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| - | Jede kreisförmige „Knospe“ und jede Satelliten-Kardioide zeichnet sich durch eine bestimmte Periodizität des Grenzzyklus aus, gegen den die Folge für die zugehörigen ''c''-Werte strebt. Die Anordnung der „Knospen“ an der zugehörigen Kardioide folgt dabei den folgenden Regeln, aus denen sich unmittelbar die Periodizitäten ablesen lassen. Jede „Knospe“ berührt genau einen Basiskörper, nämlich eine größere „Knospe“ oder eine Kardioide.
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| - | Die Periodizität einer „Knospe“ ist die Summe der Periodizitäten der beiden nächsten größeren „Nachbarknospen“ in beide Richtungen am selben Basiskörper, sofern es solche gibt. Gibt es am Rand des Basiskörpers bis zur Kontaktstelle mit dessen Basiskörper bzw. bis zur Kerbe der Kardioide nur kleinere „Knospen“, so trägt anstelle der Periodizität einer „Nachbarknospe“ die des Basiskörpers selbst zur Summe bei. Daraus leiten sich unmittelbar die folgenden Eigenschaften ab:
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| - | * Tendenziell sind die „Knospen“ bzw. Kardioiden umso kleiner, je größer ihre Periodizität ist.
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| - | * Die Periodizität der größten „Knospe“ an einem Basiskörper beträgt stets das doppelte, wie beispielsweise der „[[Dutt]]“ mit der Periode 4 am „Kopf“.
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| - | * Die Periodizität einer „Knospe“ eines Satelliten ist das Produkt der Periodizität der Kardioide und der der korrespondierenden „Knospe“ der Hauptkardioide.
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| - | Ferner erklärt diese Regel das Auftreten bestimmter Folgen von „Knospen“ wie beispielsweise vom „Kopf“ zur Kardioidkerbe hin mit einer Periodizitätszunahme zur nächsten „Knospe“ hin um den Wert 1 oder vom „Arm“ zum „Kopf“ hin um den Wert 2.
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| - | ==== Attraktive Zyklen ====
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| - | Gibt es für ein ''c'' ein Folgenglied mit der Eigenschaft ''z<sub>n</sub>=z''<sub>0</sub>=0, so wiederholt sich die Folge von Anfang an streng periodisch und zwar mit der Periode ''n''. Da sich ''z<sub>n</sub>'' durch ''n''-malige Anwendung der Iterationsvorschrift ergibt, wobei bei jedem Schritt quadriert wird, lässt es sich als [[Polynom]] von ''c'' vom Grad 2<sup>''n''-1</sup> formulieren. Die ''c''-Werte für periodische Folgen der Periode ''n'' erhält man daher über die 2<sup>''n''-1</sup> [[Nullstelle]]n dieses Polynoms. Es zeigt sich, dass jede Zahlenfolge gegen diesen Zahlenzyklus konvergiert, sofern eins ihrer Folgenglieder hinreichend nahe an diesen Zyklus gerät. Man spricht von sogenannten [[Attraktor]]en.
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| - | Das führt dazu, dass auch alle Zahlenfolgen zu einer gewissen Umgebung des ''c''-Wertes, der den Attraktor repräsentiert, gegen einen stabilen Zyklus der Periode n konvergieren. Jede kreisförmige „Knospe“ und jede Kardioide eines Satelliten repräsentiert genau eine solche Umgebung. Exemplarisch seien die Gebiete mit den Perioden 1 bis 3 aufgeführt:
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| - | * Periode 1: Die Kardioide des Hauptapfelmännchens. Der Rand dieser Kardioide ist gegeben durch Punkte der Form <math>c = \frac 12 z - \frac 14 z^2</math> mit <math>|z|=1</math>.
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| - | * Periode 2: Der „Kopf“. Die 2. Nullstelle ''c''=0 entspricht der Hauptkardioide, die wegen der Periode 1 natürlich auch bei der Ermittlung aller höherer Perioden als Nullstelle auftritt. Diese Überlegung zeigt, dass die Zahl der Attraktoren mit der Periode ''n'' (>1) maximal 2<sup>''n''-1</sup>-1 betragen kann, und das auch nur dann, wenn ''n'' eine Primzahl ist. Der Kopf selbst ist eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt <math> -1</math> und Radius <math>\frac 14</math>, d. h. der Rand dieser Kreisscheibe ist gegeben durch Punkte der Form <math> c = -1 + \frac14 z</math> mit <math>|z|=1</math>.
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| - | * Periode 3: Die „Knospen“, die den „Armen“ entsprechen und die Kardioide des größten Satelliten auf der „Kopfantenne“. Die 4. Nullstelle ''c''=0 entfällt wieder.
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| - | Die Anzahl der anziehenden Zyklen mit der genauen Periode ''n'', d.h. ''z<sub>n</sub>=z''<sub>0</sub> und ''n'' ist minimal mit dieser Eigenschaft, ist die {{OEIS|A000740}}.
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| - | ===== Galerie der Iteration =====
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| - | Die folgende Galerie gibt einen Überblick über die Werte von ''z''<sub>''n''</sub> für einige Werte von ''n''. Dabei hängt ''z''<sub>''n''</sub> vom Parameter ''c'' ab, dessen Realteil sich in den Bildern von links nach rechts von −2.2 bis 1 erstreckt, und dessen Imaginärteil von −1.4 bis 1.4 reicht.
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| - | {| class="wikitable" cellspacing="5"
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| - | |+Die Iteration z → z²+c nach n Schritten
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| - | |- class="hintergrundfarbe5"
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| - | ! width="160" | Iterationen
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| - | ! Beschreibung
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| - | |-
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-01.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 1<br />Nach dem ersten Schritt gilt ''z''<sub>''1''</sub>(c) = c. Das Bild ist also eine [[Benutzer:Georg-Johann/Mathematik#Visualising complex functions|farbige Darstellung]] der komplexen Zahlen ''c'', welche sich in dem gezeigten Gebiet befinden. Die Null wird dabei in Weiß dargestellt und Unendlich in Schwarz. Daher erscheint ein Punkt umso dunkler, je weiter er vom Ursprung entfernt ist. Die Farbe eines Punktes gibt Auskunft über sein [[Komplexe Zahl#Polarform|Argument]], also über den Winkel, den er mit der positiv-reellen Achse (rot) hat. Die negativ-reelle Achse ist türkis gefärbt.
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| - | |-
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-02.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 2<br />Nach zwei Schritten gilt
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| - | :''z''<sub>2</sub>(''c'') = ''c''<sup>2</sup> + ''c'' = ''c''·(''c'' + 1)
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| - | Dieser Ausdruck wird Null für ''c'' = 0 sowie für ''c'' = −1. Die neu hinzugekommene linke Nullstelle liegt im Zentrum des Kopfes des Apfelmännchens, während die alte auf der rechten Seite das Herz der Leib-Zykloiden ist.
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-03.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 3<br />Die Anzahl der Nullstellen hat sich verdoppelt — wie nach jedem Iterationsschritt. Die reelle Nullstelle links liegt im Herz des kleinen Antennen-Satelliten. Es treten die ersten komplexwertigen Nullstellen ober- und unterhalb der reellen Achse auf. Diese Nullstellen liegen im Zentrum des jeweiligen Ärmchens.
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-04.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 4<br />Der Dutt ist entstanden: er gehört zur Nullstelle links neben der Kopf-Nullstelle bei −1. Die dargestellte Funktion
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| - | :''z''<sub>4</sub>(''c'') = (((''c''<sup>2</sup> + ''c'')<sup>2</sup> + ''c'')<sup>2</sup> + ''c'')<sup>2</sup> + ''c''
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| - | wird immer unübersichtlicher. Es lässt sich jedoch einfach nachrechnen, dass wenn ''c''<sub>o</sub> eine Nullstelle von ''z<sub>n</sub>'' ist, ''c''<sub>o</sub> auch eine Nullstelle von ''z<sub>k·n</sub>'' ist. Daher „erbt“ ''z''<sub>4</sub> die Nullstellen von ''z''<sub>2</sub>. Dieser Zusammenhang ist Ursache für das unten erläuterte [[#Periodisches Verhalten|periodische Verhalten der Knospen]].
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-05.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 5<br />Da 5 eine Primzahl ist, gibt es keine altbekannten Nullstellen — außer der null, welche von ''z''<sub>1</sub> bekannt ist. Da der Grad des [[Polynom]]s ''z<sub>n</sub>''(''c'') gleich 2<sup>n−1</sup> ist, wächst ''z<sub>n</sub>'' mit wachsendem ''n'' immer schneller gegen Unendlich. Dadurch bildet sich der Rand zwischen der Mandelbrotmenge und ihrem Äußeren immer klarer heraus.
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-09.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 9<br />Inzwischen gibt es bereits 256 Nullstellen, die munter innerhalb des Apfelmännchens verteilt sind. Da 3 ein Teiler von 9 ist, sind die Armknospen und der kleine Antennensatellit wieder mit einer Nullstelle an der Reihe, und leuchten daher hell auf.
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-17.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 17<br />Wieder eine Primzahl.
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| - | | [[Datei:Mandelbrot-Iterate-18.jpg|150px|center]]
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| - | | valign="top" | '''n''' = 18<br />Mit ''n'' = 18 und 2<sup>17</sup> = 131 072 Nullstellen endet diese Bilderserie, ''n'' könnte man noch beliebig vergrößern, womit sich auch die Anzahl der neuen Knospen erhöht.
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| - | |}
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| - | ==== Repulsive Zyklen ====
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| - | Neben attraktiven Zyklen gibt es auch repulsive, die sich dadurch auszeichnen, dass Zahlenfolgen in ihrer Umgebung sich zunehmend von ihnen entfernen. Sie lassen sich jedoch erreichen, da jedes ''z<sub>n</sub>'' abgesehen von der Situation ''z<sub>n-1</sub>=0'' wegen des Quadrats in der Iterationsvorschrift zwei potenzielle Vorgänger in der Folge hat, die sich nur durch ihr Vorzeichen unterscheiden. ''c''-Werte, für die die zugehörige Folge irgendwann über einen solchen zweiten Vorläufer eines Periodenmitgliedes in einen derartigen instabilen Zyklus mündet, sind beispielsweise die „Naben“ der rad- bzw. spiralförmigen Strukturen sowie die Endpunkte der weitverbreiteten antennenartigen Strukturen, die sich formal als „Naben“ von „Rädern“ oder Spiralen mit einer einzigen Speiche interpretieren lassen. Derartige ''c''-Werte werden auch als [[Michal Misiurewicz|Misiurewicz]]-Punkte bezeichnet.
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| - | Ein Misiurewicz-Punkt ''c'' hat ferner die Eigenschaft, dass <math>\Bbb M</math> in seiner näheren Umgebung nahezu deckungsgleich mit demselben Ausschnitt der zugehörige Julia-Menge ''J''<sub>''c''</sub> ist. Je weiter man sich dem Misiurewicz-Punkt nähert, umso besser wird die Übereinstimmung. Da Julia-Mengen für ''c''-Werte innerhalb von <math>\Bbb M</math> zusammenhängend sind und außerhalb von <math>\Bbb M</math> Cantor-Mengen aus unendlich vielen Inseln mit der Gesamtfläche Null, sind sie in der Übergangszone am Rand von <math>\Bbb M</math> besonders filigran. Jeder Misiurewicz-Punkt ist aber gerade ein Randpunkt von <math>\Bbb M</math>, und jeder Ausschnitt der Randzone von <math>\Bbb M</math>, der sowohl Punkte in <math>\Bbb M</math> als auch außerhalb davon enthält, enthält unendlich viele davon. Damit ist der gesamte Formenreichtum sämtlicher Julia-Mengen dieses filigranen Typs in der Umgebung der Misiurewicz-Punkte in <math>\Bbb M</math> repräsentiert.
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| - | ==== Satelliten ====
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| - | Ein weiteres Strukturelement, das den Formenreichtum der Mandelbrotmenge begründet, sind die verkleinerten Kopien ihrer selbst, die sich in den filigranen Strukturen ihres Randes befinden. Dabei korrespondiert das Verhalten der Zahlenfolgen innerhalb eines Satelliten in folgender Weise mit dem der Folgen im Hauptkörper. Innerhalb eines Satelliten konvergieren alle Zahlenfolgen gegen Grenzzyklen, deren Perioden sich von denen an den entsprechenden Stellen im Hauptkörper von <math>\Bbb M</math> um einen Faktor p unterscheiden. Betrachtet man für einen bestimmten ''c''-Wert aus dem Satelliten nur jedes p-te Folgenglied, so ergibt sich eine Folge, die bis auf einen räumlichen Maßstabsfaktor nahezu identisch ist mit derjenigen, die sich für den entsprechenden ''c''-Wert im Hauptkörper von <math>\Bbb M</math> ergibt. Die mathematische Begründung hierfür ist tiefliegend; sie entstammt den Arbeiten von Douady und Hubbard über „polynomartige Abbildungen“.
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| - | Die zusätzlichen Strukturelemente in der unmittelbaren Umgebung eines Satelliten sind eine Folge davon, dass zwischen zwei der betrachteten Folgenglieder mit dem Indexabstand p sich eins mit dem Wert ''z<sub>n</sub>=0'' befinden kann, das damit einen periodischen Verlauf mit der Periode n begründet. Die entsprechende Folge außerhalb des Hauptkörpers divergiert jedoch, da sie keine solchen Zwischenglieder besitzt.
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| - | [[Datei:Newton-lplane-Mandelbrot-smooth.jpg|miniatur|Analyse des Verhaltens des Newton-Verfahrens zu einer Familie kubischer Polynome]]
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| - | Es handelt sich bei der Mandelbrot-Menge selbst um eine universelle Struktur, die auch bei völlig anderen nichtlinearen Systemen und Klassifizierungsregeln in Erscheinung treten kann. Grundvoraussetzung ist jedoch, dass die beteiligten Funktionen [[winkeltreu]] sind. Betrachtet man solche Systeme, die von einem komplexen Parameter ''c'' abhängen und klassifiziert ihr Verhalten bezüglich einer bestimmten Eigenschaft der Dynamik in Abhängigkeit von ''c'', dann findet man unter bestimmten Umständen in der Parameter-Ebene kleine Kopien der Mandelbrot-Menge. Ein Beispiel ist die Frage, für welche Polynome dritten Grades das iterative [[Newton-Verfahren]] zur Bestimmung von Nullstellen mit einem bestimmten Startwert versagt und für welche nicht.
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| - | Wie im nebenstehenden Bild kann die Mandelbrot-Menge dabei verzerrt auftreten, zum Beispiel sitzen dort die Armknospen an etwas anderer Stelle. Ansonsten ist die Mandelbrot-Menge jedoch vollkommen intakt, inklusive aller Knospen, Satelliten, Filamente und Antennen. Der Grund für das Auftauchen der Mandelbrot-Menge ist, dass die betrachtete Funktionenfamilien in bestimmten Gebieten – abgesehen von Drehungen und Verschiebungen – recht gut mit der Funktionenfamile
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| - | :<math>
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| - | \{f_c : z\mapsto z^2+c\}
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| - | </math>,
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| - | welche die Mandelbrot-Menge definiert, übereinstimmen. Dabei sind in einem gewissen Rahmen Abweichungen zulässig, und trotzdem kristallisiert sich die Mandelbrot-Menge heraus. Dieses Phänomen wird auch als ''strukturelle Stabilität'' bezeichnet und ist im Endeffekt auch verantwortlich für das Auftreten der Satelliten in der Umgebung von <math>\Bbb M</math>, weil Teilfolgen der iterierten Funktionen lokal das gleiche Verhalten zeigen wie die Gesamtfamilie.
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| - | ==== Intermediär wechselhaftes Verhalten ====
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| - | [[Datei:Mandelbrotmenge Orbit Seq 1.png|miniatur|center|600px|Darstellung des Betrages der Folgenglieder als Funktion des Iterationsschrittes ''n'' für einen ''c''-Wert mit besonders abwechslungsreichem Verhalten der Folge. Die auffälligen Brüche im Verhalten ergeben sich durch Beinahe-Einfänge in repulsive Zyklen, was temporär zu quasiperiodischem Verhalten führt.]]
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| - | [[Datei:Mandelbrotmenge Orbit 1.png|miniatur|Darstellung der Folgenglieder zum ''c''-Wert des vorherigen Diagramms als Punkte in der komplexen Ebene mit hinterlegter Mandelbrotmenge zur Orientierung. Die Helligkeit eines [[Pixel]]s ist ein Maß dafür, von wie vielen Punkten der Folge es getroffen wurde.]]
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| - | Durch die Möglichkeit der Zahlenfolge, wiederholt in die unmittelbaren Umgebung eines repulsiven Zyklus zu geraten, und bei dem anschließend tendenziell divergenten oder chaotischen Verhalten wiederum beinahe in einen anderen Zyklus zu geraten, können sich intermediär sehr komplizierte Verhaltensweisen der Folge ausbilden, bis sich der endgültige Charakter der Folge zeigt, wie die beiden Abbildungen demonstrieren. Die Umgebung der zugehörigen ''c''-Werte in <math>\Bbb M</math> ist entsprechend strukturreich.
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| - | Auch die Darstellung der Folgepunkte selbst in der komplexen Ebene zeigt in diesen Fällen eine größere Komplexität. Das quasiperiodische Verhalten in der Nachbarschaft eines repulsiven Zyklus führt in diesen Fällen oft zu spiralförmigen Strukturen mit mehreren Armen, wobei die Folgepunkte das Zentrum umkreisen, während der Abstand zu ihm zunimmt. Die Anzahl der Arme entspricht daher der Periode. Die Punktanhäufungen an den Enden der Spiralarme in der obigen Abbildung sind die Folge der beiden zugehörigen Beinahe-Einfänge durch repulsive (instabile) Zyklen.
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| - | <!-- Für Bildzuordnung zu den einzelnen Abschnitten -->
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| - | {{Absatz}}
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| - | === Dichteverteilung der Folgenglieder ===
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| - | [[Datei:TrajectoriesDensityplot.jpg|miniatur|Summarische Dichteverteilung der Folgenglieder für alle ''c''-Werte in einer farbkodierten Darstellung]]
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| - | Das nebenstehende Bild zeigt in der komplexen Ebene die Dichteverteilung der Folgenglieder, die sich durch Auswertung von 60 Millionen Folgen ergibt, wobei die Helligkeit ein Maß dafür ist, wie viele Orbitale durch den Punkt verlaufen. Blaue Bereiche kennzeichnen Folgenglieder mit kleinem Index, während eine gelbliche Färbung Folgenglieder mit hohen Indizes anzeigt. Folgen aus der großen Kardioide der Mandelbrotmenge tendieren zu einer Konvergenz zu einem ''c''-Wert auf einem Kreis um den Ursprung, der als runder Bereich mit sehr hoher Dichte zu erkennen ist. Die kleineren Gebilde nahe der imaginären Achse markieren die [[Komplexe Zahl#Komplexe Konjugation|konjugierten]] Bereiche, zwischen denen Folgenglieder vieler Folgen hin und her springen (Annäherung an einen Grenzzyklus mit der Periode 2 für große Folgenindizes).
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| - | === Bezug zur Chaostheorie ===
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| - | [[Datei:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg|miniatur|Im oberern Bildbereich sind Grenzzyklen der [[Logistische Gleichung|logistischen Gleichung]]<ref>Nach einer entsprechenden Koordinatentransformation. Für Details siehe die [[:Datei:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg#Note|Bildbeschreibung]]</ref> dargestellt, die reellen ''c''-Werten der Mandelbrotmenge entsprechen. Konvergenz geht über [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkation]] in [[Chaosforschung|Chaos]] über.]]
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| - | Das Bildungsgesetz, das der Folge zugrunde liegt, ist die einfachste nichtlineare Gleichung, anhand der sich der Übergang von Ordnung zu Chaos durch Variation eines Parameters provozieren lässt. Dazu genügt es, [[Reelle Zahl|reelle]] Zahlenfolgen zu betrachten.
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| - | Man erhält sie, wenn man sich auf die ''c''-Werte der x-Achse von <math>\Bbb M</math> beschränkt. Für Werte –0,75 ≤ ''c'' ≤ 0,25, das heißt innerhalb der Kardioide, konvergiert die Folge. Auf der „Antenne“, die bis ''c'' = -2 reicht, verhält sich die Folge chaotisch. Der Übergang zu chaotischem Verhalten erfolgt nun über ein Zwischenstadium mit periodischen Grenzzyklen. Dabei nimmt die Periode zum chaotischen Bereich hin stufenweise um den Faktor zwei zu, ein Phänomen, das als [[Periodenverdopplung]] und [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkation]] bezeichnet wird. Jeder ''c''-Bereich zu einer bestimmten Periode entspricht dabei einer der kreisförmigen „Knospen“ auf der x-Achse.
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| - | Die Periodenverdopplung beginnt mit dem „Kopf“ und setzt sich in der Folge der „Knospen“ zur „Antenne“ hin fort. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle und damit das der Knospendurchmesser zu unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die [[Feigenbaum-Konstante]] δ ≈ 4,669, eine fundamentale Konstante der Chaostheorie. Dieses Verhalten ist typisch für den Übergang realer Systeme zu chaotischer Dynamik. Die auffälligen Lücken im chaotischen Bereich entsprechen Inseln mit periodischem Verhalten, denen in der komplexen Ebene die Satelliten auf der „Antenne“ zugeordnet sind.
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| - | Für gewisse komplexe ''c''-Werte stellen sich Grenzzyklen ein, die auf einer geschlossenen Kurve liegen, deren Punkte jedoch nicht periodisch, sondern chaotisch abgedeckt werden. Eine solche Kurve ist in der Chaostheorie als sogenannter [[seltsamer Attraktor]] bekannt.
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| - | Die Mandelbrot-Menge ist daher ein elementares Objekt für die Chaostheorie, an der sich fundamentale Phänomene studieren lassen. Sie wird aus diesem Grund hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Chaostheorie gelegentlich mit der von [[Gerade]]n für die [[euklidische Geometrie]] verglichen.
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| - | == Grafische Darstellung ==
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| - | Die grafische Darstellung der Mandelbrot-Menge und ihrer Strukturen im Randbereich ist nur mittels [[Computer]] möglich. Dabei entspricht jedem Bildpunkt ein Wert ''c'' der komplexen Ebene. Der Computer ermittelt für jeden Bildpunkt, ob die zugehörige Folge divergiert oder nicht. Sobald der Betrag |''z''<sub>''n''</sub>| eines Folgengliedes den Wert ''R''=2 überschreitet, divergiert die Folge. Die Zahl der [[Iteration]]sschritte ''N'' gemäß obiger Rekursionsformel, nach denen das erfolgt, kann als Maß für den Divergenzgrad herangezogen werden. Über eine zuvor festgelegte Farbtabelle, die jedem Wert ''N'' eine Farbe zuordnet, wird in diesem Fall dem Bildpunkt eine Farbe zugewiesen.
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| - | Um in ästhetischer Hinsicht harmonische Grenzen zwischen aufeinanderfolgenden Farben zu erreichen, wird in der Praxis für die Grenze ''R'' nicht der kleinste mögliche Wert ''R''=2 gewählt, sondern ein Wert deutlich größer als 2, da andernfalls die Farbstreifenbreite oszilliert. Je größer dieser Wert gewählt wird, desto besser entsprechen die Farbgrenzen [[Äquipotentiallinie]]n, die man erhält, wenn man die Mandelbrot-Menge als [[Elektrische Ladung|elektrisch geladenen]] [[Leiter (Physik)|Leiter]] interpretiert. Für kontinuierliche Farbverläufe, wie beispielsweise in der obigen Zoom-Bilderserie, ist eine Auswertung des Faktors erforderlich, um den ''R'' bei der ersten Überschreitung übertroffen wurde.
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| - | Da die Zahl der Iterationsschritte ''N'', bevor die Grenze ''R'' überschritten wird, beliebig groß sein kann, muss für die praktische Durchführung der Rechnung ein Abbruchkriterium in Form einer maximalen Zahl von Iterationsschritten festgelegt werden. Werte von ''c'', deren Folgen danach die Grenze ''R'' noch nicht überschritten haben, werden zu <math>\Bbb M</math> gerechnet. Je geringer der Abstand von ''c'' zu <math>\Bbb M</math> ist, desto größer ist die Zahl ''N'', nach der ''R'' überschritten wird. Je stärker die Vergrößerung ist, mit der man den Rand von <math>\Bbb M</math> darstellen möchte, desto größer muss in diesem Fall die maximale Zahl von Iterationsschritten gewählt werden, und desto größer fällt auch die Rechenzeit aus. Konvergiert die Folge für einen Startwert ''c'', so kann die Berechnung der Folge auch schon früher abgebrochen werden.
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| - | Grafisch besonders reizvoll ist die Darstellung des Randes von <math>\Bbb M</math> mit seinem Formenreichtum. Je stärker die gewählte Vergrößerung ist, umso komplexere Strukturen lassen sich dort finden. Mit entsprechenden [[Computerprogramm]]en lässt sich dieser Rand wie mit einem [[Mikroskop]] mit beliebiger Vergrößerung darstellen. Die beiden einzigen künstlerischen Freiheiten, die dabei bestehen, sind die Wahl des Bildausschnittes sowie die Zuordnung von Farben zum Divergenzgrad.
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| - | Zur Untersuchung interessanter Strukturen sind oft Vergrößerungen erforderlich, die mit der üblichen Rechengenauigkeit gängiger Programmiersprachen aufgrund von Rundungsfehlern nicht darstellbar sind. Manche Programme enthalten daher spezielle [[Arithmetik]]-[[Routine (Programmierung)|Routinen]] für 100 Nachkommastellen oder auch deutlich mehr. Die damit erzielbaren Vergrößerungsfaktoren von etwa 10<sup>100</sup> bzw. mehr übersteigen selbst das Verhältnis vom Durchmesser des bekannten [[Universum|Kosmos]] zu dem eines [[Proton]]s von etwa 10<sup>40</sup> um einen astronomischen Faktor. Aber nicht nur zur Ausschnittsvergrößerung werden so viele Kommastellen gebraucht, sondern auch um bei einer längeren Iterationsfolge die auftretenden Rundungsfehler möglichst klein zu halten.
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| - | === Buddhabrot ===
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| - | [[Datei:Buddhabrot-deep.jpg|miniatur|Buddhabrot]]
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| - | Buddhabrot ist eine besondere Darstellung der Mandelbrot-Menge, die im Gesamtbild in entsprechender Orientierung einer klassischen [[Buddha]]-Darstellung ähnelt. So wie bei der oben angeführten Dichteverteilung die Spuren der konvergierenden Anfangswerte aufgezeichnet werden, werden hier die Spuren der divergierenden Anfangswerte aufgezeichnet. Es wird also wiederholt ein zufälliger Startwert ausgewählt und überprüft, ob dieser nach einer vorgegebenen Anzahl Iterationen divergiert. Tut er das, so wird seine Spur in der komplexen Zahlenebene festgehalten. Im entstehenden Bild werden die Pixel umso heller gefärbt, je öfter sie getroffen wurden. Das genaue Aussehen des Bildes hängt davon ab, wie hoch die vorgegebene Anzahl von Iterationen ist. Werden die Punkte länger iteriert, so wird das Bild umfangreicher und detaillierter, benötigt aber auch mehr Rechenzeit zum Generieren. Es kann eine Art Falschfarbenbild zusammengesetzt werden, indem Bilder mit unterschiedlichen Iterationsanzahlen in verschiedenen Farben übereinandergelegt werden.
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| - | Mit einer (ironisch) esoterischen Sichtweise könnte man das Buddhabrot als ein Symbol des irdischen Lebens ansehen: die Summe aller Spuren, die hinterlassen werden von denen, die an zufälliger Stelle erscheinen und letztlich in die Unendlichkeit verschwinden müssen. Das „Schicksal“ eines Punktes im Laufe seiner Spur wird dabei stark (multiplikativ) von seiner momentanen Situation und weniger stark (additiv) von seiner ursprünglichen Ausgangssituation bestimmt. Die Spur eines Einzelnen wirkt rein zufällig, das Gesamtbild Aller jedoch ästhetisch. Welchen Bereich man sich auch genauer ansieht, man kann immer neue Details erkennen, die jeweils an das Ganze erinnern, aber doch einzigartig sind.
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| - | === Dreidimensionale Darstellung ===
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| - | [[Datei:Mandelbulb 5 iterations.png|miniatur|Mandelbulb]]
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| - | Es gibt verschiedene Ansätze, eine dreidimensionale Darstellung der Mandelbrot-Form zu erreichen.
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| - | Zuvor gab es z.B. Ansätze, einfach die klassische zweidimensionale Form zu [[Extrusion (Geometrie)|extrudieren]].<ref>[http://skytopia.com/project/fractal/mandelbrot.html skytopia.com/project/fractal/mandelbrot.html]</ref>
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| - | Erst 2007 kam von Daniel White und Paul Nylander ein Ansatz, der eine raumgreifende Form entwickelt (im englischen Sprachraum bekannt als „Mandelbulb“), die ihren Formenreichtum von Anfang an in alle drei Dimensionen entwickelt und den typischen unbeschränkten Detailreichtum in allen drei Dimensionen aufweist. Dieser Ansatz basiert nicht auf einem [[Iteriertes Funktionensystem|iterierten Funktionensystem]] (IFS).<ref>[http://skytopia.com/project/fractal/mandelbulb.html skytopia.com/project/fractal/mandelbulb.html]</ref>
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| - | == Programmbeispiel ==
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| - | === Iteration über alle Bildpunkte ===
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| - | Das folgende Programmbeispiel geht davon aus, dass die Pixel des Ausgabemediums durch [[Koordinaten]] ''pix_x'' und ''pix_y'' mit einem Wertebereich von ''1'' bis jeweils ''max_x'' und ''max_y'' adressierbar sind. Die Berechnung des dem Pixel zugeordneten komplexen Zahlenwerts ''c'' mit dem Realteil ''c<sub>x</sub>'' und dem Imaginärteil ''c<sub>y</sub>'' erfolgt mittels geometrischer Überlegungen.
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| - | Die maximale Anzahl von Iterationsschritten ist ''max_iterationen''. Wird dieser Wert überschritten, so wird das entsprechende Pixel der Menge <math>\Bbb M</math> zugeordnet. Der Wert von ''max_iterationen'' sollte mindestens 100 betragen. Bei stärkerer Vergrößerung sind zur korrekten Darstellung der Strukturen unter Umständen erheblich größere Werte erforderlich und damit auch deutlich größere Rechenzeiten. ''punkt_abstand_x'' und ''punkt_abstand_y'' sind ein Maß für den Zoomfaktor in x- bzw. y-Richtung.
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| - | <source lang="vb">
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| - | FOR pix_x = 1 TO max_x
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| - | cx = min_cx + pix_x * punkt_abstand_x
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| - |
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| - | FOR pix_y = 1 TO max_y
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| - | cy = min_cy + pix_y * punkt_abstand_y
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| - |
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| - | iterations_wert = punkt_iteration ( cx, cy, max_betrags_quadrat, max_iterationen )
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| - |
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| - | farb_wert = waehle_farbe ( iterations_wert, max_iterationen )
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| - |
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| - | plot pix_x pix_y farb_wert
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| - |
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| - | NEXT pix_y
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| - | NEXT pix_x
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| - | </source>
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| - |
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| - | === Iteration eines Bildpunktes ===
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| - | Die Iteration von ''n'' nach ''n+1'' für einen Punkt ''c'' der komplexen Zahlenebene erfolgt mittels der komplexen Gleichung
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| - |
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| - | : <math>
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| - | \begin{matrix}
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| - | z_{n+1} &=& z_n^2 + c &&
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| - | \end{matrix}
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| - | </math>,
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| - |
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| - | die sich mittels der Zerlegung der komplexen Zahl ''z'' in ihren Realteil ''x'' und Imaginärteil ''y'' in zwei reelle Gleichungen
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| - |
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| - | : <math>
| |
| - | \begin{matrix}
| |
| - | x_{n+1} &=& x_n^2 - y_n^2 + c_x &&
| |
| - | \end{matrix}
| |
| - | </math>
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| - | und
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| - | : <math>
| |
| - | \begin{matrix}
| |
| - | y_{n+1} &=& 2 x_n y_n + c_y &&
| |
| - | \end{matrix}
| |
| - | </math>
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| - |
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| - | umwandeln lässt.
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| - | Falls das Quadrat des Betrags der ''(n+1)''-sten Zahl, gegeben durch
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| - |
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| - | : <math>
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| - | \begin{matrix}
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| - | |z_{n+1}|^2 &=& x_{n+1}^2 + y_{n+1}^2 &&
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| - | \end{matrix}
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| - | </math>
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| - |
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| - | den Wert ''max_betrag_quadrat'' (mindestens 2 * 2 =4) überschreitet, wird die Iteration abgebrochen, und die Anzahl der bislang erfolgten Iterationssschritte für die Zuordnung eines Farbwertes verwendet. Falls das Quadrat des Betrags nach einer gegebenen maximalen Anzahl von Iterationsschritten den ''max_betrag_quadrat'' nicht überschritten hat, wird angenommen, dass die Iteration beschränkt bleibt, und die Iterationsschleife abgebrochen.
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| - |
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| - | Die folgende Funktion führt die beschriebene Iteration durch. ''x'' und ''xt'' sowie ''y'' und ''yt'' sind die iterativ benutzten Variablen für die Iterationswerte.
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| - | <source lang="vb">
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| - | FUNCTION punkt_iteration (cx, cy, max_betrag_quadrat, max_iter)
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| - |
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| - | betrag_quadrat = 0
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| - | iter = 0
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| - | x = 0
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| - | y = 0
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| - |
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| - | WHILE ( betrag_quadrat <= max_betrag_quadrat ) AND ( iter < max_iter )
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| - | xt = x * x - y * y + cx
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| - | yt = 2 * x * y + cy
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| - | x = xt
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| - | y = yt
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| - | iter = iter + 1
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| - | betrag_quadrat = x * x + y * y
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| - | END
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| - |
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| - | punkt_iteration = iter
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| - |
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| - | END FUNCTION
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| - | </source>
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| - | Wird ein kontinuierlicherer Farbverlauf gewünscht, so bietet sich alternativ die Formel
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| - |
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| - | <source lang="vb">
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| - | punkt_iteration = iter – log(log(betrag_quadrat) / log(4)) / log(2)
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| - | </source>
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| - | an, die keine ganze, sondern eine gebrochene Zahl liefert. Für die Folge mit ''c''=0 und dem Startwert ''z''<sub>''0''</sub>=''2'' liefert diese Formel den Wert Null. Es ergibt sich ferner eine von ''max_betrag_quadrat'' unabhängige Farbgebung, sofern dieser Wert groß gegen 1 ist.
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| - |
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| - | Ein erheblicher Teil der Rechenzeit wird dort benötigt, wo die Zahlenfolge nicht divergiert. Moderne Programme bemühen sich, mit verschiedenen Verfahren die Rechenzeit für diese Stellen zu reduzieren. Eine Möglichkeit besteht darin, die Rechnung bereits abzubrechen, wenn die Zahlenfolge konvergiert ist oder sich in einem periodischen Zyklus gefangen hat. Andere Programme nutzen aus, dass jeder Punkt im Inneren einer geschlossenen Kurve, die nur Punkte aus <math>\Bbb M</math> enthält, ebenfalls dazugehört.
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| - | == Rezeption in der Öffentlichkeit ==
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| - | [[Datei:Mandelbrot island.jpg|thumb|Computergenerierte Landschaftsgrafik einer Insel in Form der Mandelbrot-Menge, gerendert mit dem Programm [[Terragen]]]]
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| - | Die Mandelbrot-Menge erlangte durch Publikationen von Bildern in den Medien Ende der 1980er Jahre einen für ein mathematisches Thema dieser Art ungewöhnlich großen Bekanntheitsgrad. Sie dürfte das populärste Fraktal und möglicherweise das populärste Objekt der zeitgenössischen Mathematik überhaupt sein.<ref>Peitgen, Jürgens, Saupe: ''Chaos, Bausteine der Ordnung'', Rowohlt, ISBN 3-499-60551-1, Seite 431</ref> Ein Aspekt neben dem enormen geometrischen Formenreichtum ist der extreme Kontrast zwischen diesem und der Einfachheit des zugrunde liegenden Algorithmus, der an biologische Systeme erinnert, bei denen nach naturwissenschaftlicher Sicht ebenfalls aus einer vergleichsweise geringen Zahl von Regeln äußerst komplexe Systeme entstehen können. Ein weiterer Aspekt ist die Nähe zur [[Chaosforschung|Chaostheorie]], die ebenfalls in der Öffentlichkeit großes Interesse geweckt hatte. Die Mandelbrot-Menge hat auch [[Computerkunst|Computerkünstler]] inspiriert und zu einem Aufschwung fraktaler Konzepte beigetragen. Dabei fanden und finden auch zahlreiche Modifikationen des [[Algorithmus]] Anwendung, welcher der Mandelbrot-Menge zugrunde liegt.
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| - | Der [[Vereinigte Staaten|amerikanische]] [[Musiker]] [[Jonathan Coulton]] hat ein [[Lied]] über die Mandelbrot-Menge veröffentlicht, in welchem [[Benoît Mandelbrot]] dafür gedankt wird, dass er Ordnung in das Chaos gebracht habe.<ref>http://www.jonathancoulton.com/songdetails/Mandelbrot%20Set</ref>
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| - | == Siehe auch ==
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| - | * [[Fractint]] (freies Generator-Programm)
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| - |
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| - | == Einzelnachweise ==
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| - | <references />
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| - |
| |
| - | == Literatur ==
| |
| - | * [[Benoît Mandelbrot]]: ''Die fraktale Geometrie der Natur''. ISBN 3-7643-2646-8.
| |
| - | * John Briggs und F. David Peat: ''Die Entdeckung des Chaos''. ISBN 3-446-15966-5.
| |
| - | * [[Heinz-Otto Peitgen]] und Peter H. Richter: ''The Beauty of Fractals''. ISBN 0-387-15851-0.
| |
| - | * Heinz-Otto Peitgen und Dietmar Saupe: ''The Science of Fractal Images''. ISBN 0-387-96608-0.
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| - | * Karl Günter Kröber: ''Das Märchen vom Apfelmännchen – 1. Wege in die Unendlichkeit''. ISBN 3-499-60881-2.
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| - | * Karl Günter Kröber: ''Das Märchen vom Apfelmännchen – 2. Reise durch das malumitische Universum''. ISBN 3-499-60882-0.
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| - | == Weblinks ==
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| - | {{Commonscat|Mandelbrot sets|Mandelbrot-Menge}}
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| - | * [http://www.mrob.com/pub/muency.html The Encyclopedia of the Mandelbrot Set] (englisch)
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| - | * [http://jumk.de/facharbeit/ Facharbeit über Juliamengen und Mandelbrot-Menge]
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| - | * [http://www.iec.csic.es/~miguel/Atlas.html Schwarz-Weiß-Atlas, etwa 20-fach]
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| - | * [http://www.wolfgangbeyer.de/chaos/mandelzoom.htm Animationen zur Zoomfahrt im hiesigen Artikel] – bis zu 1024×768 Pixeln
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| - | {{Lesenswert|13. Oktober 2005|9950882}}
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| - | [[Kategorie:Fraktale Geometrie]]
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| - | {{Link GA|lv}}
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| - | [[ar:مجموعة ماندلبرو]]
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| - | [[ca:Conjunt de Mandelbrot]]
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| - | [[en:Mandelbrot set]]
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| - | [[es:Conjunto de Mandelbrot]]
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| - | [[fa:مجموعه مندلبرو]]
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| - | [[fi:Mandelbrotin joukko]]
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| - | [[fr:Ensemble de Mandelbrot]]
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| - | [[gl:Conxunto de Mandelbrot]]
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| - | [[pl:Zbiór Mandelbrota]]
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| - | [[pt:Conjunto de Mandelbrot]]
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| - | [[ro:Mulțimea lui Mandelbrot]]
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